(最新完整版)高中积分微分知识点及习题 .doc

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1、积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分.记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,

2、即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分

3、,其形式为∫f(x)dx上限(a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式

4、呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x)那么∫f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定

5、理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数.其中：[F(x)+C]'=f(x)。一个函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.几何意义：设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量.当

6、Δx

7、很

8、小时,

9、Δ－ydy

10、比

11、Δy

12、要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.多元微分：同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义.运算法则：dy=f'(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=du·v+dv·ud(u/v)=(duv-dv··u)/v^21、定积分说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则bbf

13、(x)dxF(x)aF(b)aF(a)，【其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，因为F(x)CF(x)f(x)】3、常用定积分公式⑴0dxc（c为常数）⑵1dxxc⑶xdxx11c(1)⑷1xdxlnxc⑸xedxexc⑹tdt，若f(x)

14、x)dx（k为常数）；⑵baf(x)g(x)dxbaf(x)dx