(完整版)常微分方程习题及解答 .doc

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1、一、问答题：常微分方程习题及解答1.常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。2.举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次

2、方程的通解。例：求dyP(x)yQ(x)的通解。dx首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为yclP(x)dx，然后将常数c变易为x的待定函数c(x)，令yc(x)lP(x)dx，微分之，得到dydc(x)ldxdxP(x)dxc(x)P(x)lP(x)dx，将上述两式代入方程中，得到dc(x)ldxP(x)dxc(x)P(x)lP(x)dxc(x)P(x)lP(x)dxQ(x)即积分后得到ydc(x)dxc(x)P(x)dxl(Q(x)lQ(x)lQ

3、(x)lP(x)dxP(x)dxdxc%进而得到方程的通解P(x)dxdxc%)3.高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n阶线性微分方程的初值问题2x(n)a(t)x(n1)...an1(t)xan(t)xf(t)1x(t0)1,x(t0),.x(n1)(t)0n其中a1(t)，a2(t),...an(t),f(t)是区间atb上的已知连续函数，t0a,b，1,2,...,n是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题010L00001L00xMMMMMxM

4、000L10an(t)an1(t)an2(t)La1(t)f(t)x(t0)但是需要指出的是每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。1.若常系数线性方程组x与B有什么关系？Ax和xBx有相同的基本解矩阵，则A答：设常系数方程组xAx的基解为1(t)expAt，xBt的基解为2(t)expBt，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知1(t)C2(t)，则可得expAtCexpBt，C为非奇异nn的常数矩阵。2.写出线性微分方程组的皮卡逐次逼

5、近序列。0(t),tatbk(t)[A(s)t0k1(s)f(s)]ds(k1,2,L)二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：1.yxdydxy2sin2x解：方程可化为xyyy2sin2x，当x0时，ysin2xyy2，是伯努利方程。xx1sin2x其中P(x),Q(x)。令zyxx1，方程可化为dzz2sinx，则dxxx1dxzlx(sin2x1dxlxc)x1(sin2xdxc)1(1cos2xdxc)xx2111(xx24sin2xc)11sin2xc2

6、4xx将zy1代入上面的式子，可得y111sin2xc或者1y1ysin2xcyy0也是方程的解。24xx24xx22y．yxyyl0解：令yp，则原方程可化为yxppl2p0对x求导，可得pxdpp2pl2pdpl2pdp0，dxdxdx则(x2pl2pl2p)dp0dx那么：x2pl2pl2p0或者dp0dx2p当x2pl2pl时，则y(2pl2pl2p)ppl2pllp2p2p2l2pp2p2p2l2p当dpdx0时，则pc，那么dyp，可得ycxc%，其中

7、dxc,c%是任意常数。3.xy2y0解：方法一：方程两端同时乘以x2，转化为欧拉方程x3y22xy0。它的特征方程k(k1)(k2)2k(k1)0，特征根为0，0，1.方程的基本解组为1,lnx,x,故其通解为yC1C2lnxC3x方法二：令yz，将方程转化为一阶线性方程xz2z0，解之得zC1。2x即有yC1，积分得yC1C，再积分得其通解为yCClnxCxx2x2123d2ydy3.x22xy1y(0)0,y(0)0dx2dx解：原方程可写成yx

8、2y2xy1，方程的左边可写成y(x2y)(yx2y)则(yx2y)=1积分可得，1yx2yxc1那么yx2yxc因为y(0)0，所以c10，则2yx2yx2利用常数变易法可求得方程的解为：x2dxx2yl(l2x2dxdxc)x3l3(x32xl3dxc)x3l3(x31l3c)2212100x15.xAxA013xx2011x3x3cl3解：特征方程为(1)2(1)3(1)(1)(24)(1)(2)(2)可得特征值为12,21,32。0对应于特征值