利用导数的研究函数地零点.doc

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1、利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线C：，直线（1）若直线与曲线C有唯一一个交点，求的取值范围；（或）（2）若直线与曲线C有两个不同的交点，求的取值范围；（或）（3）若直线与曲线C有三个不同的交点，求的取值范围.（）解：令得或当时，；当或时，.所以在为减函数，在，为增函数.当时，取得极大值；当时，取得极大值；（1）当或时，直线与曲线C有唯一一个交点；（2）当或时，直线与曲线C有两个不同的交点；（3）当时，直线与曲线C有三个不同的交点.2.已知函数（1）函数的单调区间；（

2、2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（-3,1）解:(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>.由f′(x)<0，解得－0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(

3、x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(－3,1)．3.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围.解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝-x3+2x，得f′(x)＝－x2＋3x－2＝－(x－1)(x－2)．所以当

4、1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜1或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞).(2)设点P是函数y＝f(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率k＝f′(t)＝－t2＋at－2，所以过点P的切线方程为y＋＝(－t2＋at－2)(x－t)，因为点在该切线上，所以＝(－t2＋at－2)(0－t)，即.若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，则函数g(t)＝有三个不同的零点．即函数y＝g(

5、t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令g′(t)＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝.因为g(0)＝＞0，所以必须，即a＞2.所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．4.(2012江苏)若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点，已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.（1）求和的值；（）（2）设函数的导函数，求的极值点；（-2是1不是）（3）设，其中，求函数的零点的个数.（当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点）解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝

6、0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－20，故－2是g(x)的极值点．当－21时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈

7、[－2,2]．当

8、d

9、＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当

10、d

11、<2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d>0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)>f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根

12、．②当x∈(1,2)时，f′(x)>0，于是f(x)是单调增函数．又f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)是单调减函数．又f(－1)－d>0，f(1)－d<0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当

13、d

14、＝2时，f(x)＝d有两