导数的综合应用：利用导数研究函数的图像及零点问题.pdf

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1、第六讲利用导数研究函数的图像及零点问题【复习指导】本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．基础梳理1．确定函数的图像①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点；②．特征线：渐近线，对称轴．2．函数的零点⑵．求函数的零点的知识提示：①．判别式；②．介值定理；③．单调性．两个注意⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域．⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点．三个防范⑴．．⑵．．⑶．常见函数的图像⑴．函数y＝aex＋bx＋c(a＞0，b＜0)与函数y＝ax＋b＋clnx(a＞0，c＜0)的图像类似于二次函数y＝ax2＋bx＋c(

2、a＞0)的图像．⑵．函数y＝aex＋bx＋c(a＜0，b＞0)与函数y＝ax＋b＋clnx(a＜0，c＞0)的图像类似于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像．⑶．函数y＝aex＋bx2＋cx＋d(a＞0，b＜0)与函数y＝ax2＋bx＋c＋dlnx(a＞0，d＜0)的图像类似于二次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)的图像．第1页共16页⑷．函数y＝aex＋bx2＋cx＋d(a＜0，b＞0)与函数y＝ax2＋bx＋c＋dlnx(a＜0，d＞0)的图像类似于二次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜0)的图像．双基自测⑴．画函数y＝x－1－lnx的图像．⑵．画函数y＝e

3、x－x2的图像．ex⑶．画函数y＝的图像．xlnx⑷．画函数y＝的图像．x⑸．关于x的方程exlnx＝1的实根个数是．1初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点考点一函数的图像问题题型⑴．画函数的图像【例1】画函数y＝ex－x－1的图像．【练习1】画函数y＝－x2ex的图像．【例2】[10山东文理]函数y＝2x－x2的图像大致是___________．第2页共16页1【解】因当x＝2或4时，2x－x2＝0，故排除B、C；当x＝－2时，2x－x2＝－4＜0，故排除D，4故选A．1【练习2】

4、⑴．画函数y＝ex－x2－x的图像；⑵．画函数y＝x2－lnx的图像．2x【例3】⑴．画函数y＝xex的图像；⑵．画函数y＝的图像．lnxx【练习3】⑴．画函数y＝xlnx的图像；⑵．画函数y＝x的图像．e题型⑵．识图cos6x【例4】[12山东]函数y=的图像大致为___________．xx−22−1π【解】函数为奇函数，故图像关于原点对称，排除A，令y＝0得，x＝kπ＋，函数零点有无穷612πx－xπx多个，排除C，且y轴右侧第一个零点为(，0)，又y＝2－2为增函数，当0＜x＜时，y＝21212－xcos6x－2＞0，cos6x＞0，故函数y=0，排除B，选D．x−x2−

5、2x【练习4】[11山东理]函数y＝－2sinx的图像大致是2x11【解】函数y＝－2sinx为奇函数，且y′＝－2cosx，令y′＝0得，cosx＝，由于函数y＝cosx为周224xx期函数，而当x＞2π时，y＝－2sinx＞0，当x＜－2π时，y＝－2sinx＜0，则答案应选C．22题型⑶．用图第3页共16页【例5】南京市2013届高三9月学情调研2012．09已知函数f(x)＝2x2＋m的图像与函数g(x)＝ln

6、x

7、的图像有四个交点，则实数m的取值范围1为．(－∞，－－ln2)2【练习5】已知使函数f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数a恰有3个，则M

8、0的取值261范围是．[，63•)916考点二函数的零点问题题型⑴．判断已知函数的零点所在区间x【例6】[09天津理]设函数f(x)＝－lnx，则y＝f(x)的零点个数是______________．31x【解】f′(x)＝(－1)，令f′(x)＞0得，x＞3；令f′(x)＜0得，0＜x＜3，令f′(x)＝0得，x＝3，故知函x3数y＝f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln3＜0，故有两个零点，分别在(1，e)和(3，＋∞)上．【练习6】已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则y＝f(x)的图像在区间(－1，3)内与x轴交点的个数为

9、_______．91【解】f′(x)＝4x3＋9，令f′(x)＝0得，x＝－()＜－1，故在区间(－1，3)内f′(x)＞0，即y＝f(x)在区43间(－1，3)上单调递增，故y＝f(x)的图像在区间(－1，3)内与x轴交点的个数为1．题型⑵．已知函数的零点的情况，求参数的范围lnx1【例7】已知函数f(x)＝kx，g(x)＝，如果关于x的方程f(x)＝g(x)在区间[，e]内有两个实数解，xe那么实数k的取值范围是．1lnx1【法一】方程f(x)＝g(x)在区间[，