信号与系统第三章-连续信号的正交分解-1.ppt

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1、第三章连续信号的正交分解学习目标：（1）掌握周期信号的频谱分析方法，即傅里叶级数法；（2）理解非周期信号频谱密度函数的概念，周期信号与非周期信号的频谱特点及信号时域特性与频域特性之间的关系；（3）掌握利用傅里叶变换的定义、性质求信号的频谱并绘出频谱图；（4）掌握典型信号的频谱密度函数，能运用傅里叶变换的性质对信号进行反变换。引言3.1引言信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函数属于一完备的正交函数集。大家所熟悉的正弦函数（，）或虚指数函数（

2、）都是正交函数。利用傅里叶变换这一数学工具就可将连续信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对周期信号）或积分（对非周期信号）。引言变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。信号表示为正交函数集信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。一、矢量的分量

3、和矢量的分解矢量在矢量上的分量示意图图(a)中3.2正交函数集与信号分解——用分量来近似代表原矢量的误差矢量。图中为在上的斜投影，可有无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量时，都大于。结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。图(a)中从几何图上可得：从解析角度：则令也可导出——是在最小平方误差的意义上标志着和相互近似程度。例如：和相同时，时，由图还可看出，其中，与组成一正交矢量。平面矢量分解图和是一组模为1的正交矢量空间中的矢量分解图矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为即则

4、二.信号的分量和信号的分解信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是函数的分解。1、函数的分量设在区间内，用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数。取何值时，得到最佳近似？选择误差函数的方均值为最小。即方均值为求此值最小时的令解得矢量分解——是在最小方均误差的意义上代表二函数和间的相关联的程度。称和在区间内为正交，构成了一个正交函数集。称与正交，组成正交矢量。例1：试用正弦函数sint在区间（0，2）内来近似表示此函数，使均方误差最小。1t01所以解：在区间内近似为例2：试用函数在区间内近似表示解：也即cost不包含sint

5、分量，或说cost与sint正交。2、正交信号空间设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列正交特性：——常数则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。理论上讲在使近似式的均方误差最小条件下，可求得方均误差3、用完备正交函数集表示信号如果用正交函数集，，…在区间近似表示函数方均误差为若令趋于无限大，的极限等于零则此函数集称为完备正交函数集定义1：定义2：如果在正交函数集之外，不存在函数x（t）满足等式i为任意整数则此函数集称

6、为完备正交函数集。这有两层意思：1，如果x（t）在区间内与正交，则x（t）必属于这个正交集。2，若x（t）与正交，但中不包含x（t），则此集不完备。4、复变函数的正交特性若和是t的复变函数，则有关正交特性的描述如下：若在区间内可由来近似，使均方误差幅度最小的之最佳值是两个复变函数和在区间内互相正交的条件是：如果在区间内，复变函数集，满足则称此为正交函数集例:(1)三角函数集为完备正交函数集。例:(2)复指数函数集是一个复变函数集，也是完备正交函数集。3.1周期信号的傅里叶级数1822年法国数学家傅里叶（1768——1830）在研

7、究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集1、三角函数集：representationofsignal:FourierSeries3.3信号表示为傅里叶级数二、周期信号f（t）表示为傅里叶级数由数学分析知，当周期信号f（t）满足狄氏条件时，可展开为三角傅里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：（1）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f（t)满足狄氏条

8、件时，才存在。1、周期信号f（t）展开为三角傅里叶级数设f（t）是周期为T的函数2、周期信号f（t）展开为复指数傅里叶级数证明：纵轴对称（偶函数）原点对称（奇函数）半周镜象对称（奇谐函数）只含常数和余弦项。为偶函数；为奇函数；为奇函数；为偶函数；只含正弦项。无偶