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《同步优化设计2021年高中数学第三章空间向量与立体几何5数学探究活动一正方体截面探究课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考试第三章空间向量与立体几何§5数学探究活动(一):正方体截面探究课后篇巩固提升合格考达标练1.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,若棱锥的体积为3π,圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为()A.33B.1C.3D.23答案D解析现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,棱锥的体积为3π,∴圆锥的体积为3π.∵圆锥的侧面展开图是半圆,设半径是R,即圆锥的母线长是R,半圆的弧长是πR
2、,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,10/10考试设圆锥的底面半径是r,则得到2πr=πR,∴R=2r,∴圆锥的高h=(2r)2-r2=3r,∴圆锥的体积V=13×πr2×3r=3π,解得r=3,则圆锥的母线长为R=2r=23.故选D.2.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是线段AC上一点,且AD=3DC,球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π,则球O的表面积为()A.72πB.86πC.112πD.128π答案D解析如图,
3、设M是BC边中点,E是AC边中点,∵AB⊥AC,∴M是△ABC的外心.作OM∥PA,∵PA⊥平面ABC,∴OM⊥平面ABC,10/10考试∴OM⊥AM,OM⊥MD.取OM=12PA,易得OA=OP,又OA=OM=OC,∴O是三棱锥P-ABC的外接球的球心.∵E是AC中点,∴ME∥AB,∴ME⊥AC,∵AD=3DC,∴ED=14AC=2,又ME=12AB=3,∴MD=ME2+ED2=32+22=13.设PA=2a,则OM=a,OD2=OM2+MD2=a2+13,又AM=12BC=12×62+82=5,∴OA2=OM2+AM2=a2+25.设过D且
4、与OD垂直的截面圆半径为r,则r=OA2-OD2=23,这是最小的截面圆半径,最大的截面圆半径等于球半径OA,∴πOA2+πr2=(a2+25)π+12π=44π,解得a2=7,∴S球=4πOA2=128π.故选D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D1上一点K,且将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,则D1KKA1的值为()A.1B.22C.12D.1310/10考试答案C解析过K作KE∥AC,交C1D1于点E,连接CE,设正方体棱长为a,设D1KKA1=1λ(λ>0),则D1K=D1E=a1+λ.
5、∵截面将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,∴VKED1-ACD=13a12×a1+λ2+12a2+12a1+λ2·12a2=1313+41a3,解得λ=2(负值舍去),∴D1KKA1=12.故选C.4.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为π3,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()A.10π+33B.10πC.10π3+3D.2π-33答案A10/10考试解析由题可得,圆柱被分成两部分中较小部分的底面积为S=π32π×π×22-12×2×2×sinπ3=
6、2π3-3,∴圆柱被分成两部分中较小部分的体积为V小=2π3-3×3=2π-33,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为V大=π×22×3-(2π-33)=10π+33.故选A.5.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BD上一点,BE=3ED,过点E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为()A.π8B.3π16C.π4D.5π16答案B解析将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示,可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.∵正四面体ABCD的棱长为1,∴正方体的棱长为22,可得外接球半径R满足2R=3×22=62,R=64.E是B
7、D上一点,BE=3ED,当球心O到截面的距离最大时,截面圆的面积取最小值,此时球心O到截面的距离等于OE.10/10考试∵cos∠ODB=162=63,OD=64,DE=14,∴OE2=642+142-2×64×14×63=316,则所得截面半径最小值为616-316=34.∴所得截面面积的最小值为π×342=3π16.故选B.等级考提升练6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则与平面A1C1B平行的平面α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32答案A解析如图所示,分别取边AB,AA1,A1D1,
8、D1C1,C1C,CB的中点M,N,E,F,G,H,显然平面MNEFGH∥平面A1C1B,10/10考试易知当截面为平面MNEFGH时,截面面积最大,
