同步优化设计2021年高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、考试第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后篇巩固提升合格考达标练1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成二面角的平面角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°答案D解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成二面角的平面角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),

2、则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266B.-52266C.52222D.-5222220/20考试答案A解析AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cos?AB,CD?=AB·CD

3、AB

4、

5、CD

6、=53×22=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A解析取AB的中点D,连接C

7、D,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),20/20考试故AB1=(-2,0,3),AC1=(-1,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),AA1与平面A1B1C1所成角为θ,根据m·AB1=0,m·AC1=0,可得m=(3,-3,2),cos=m·AA1

8、m

9、

10、AA1

11、=12.sinθ=

12、cos

13、=12

14、.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,12,∴AE=0,12,12,20/20考试易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos

15、=22,故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45°.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16B.14C.-16D.-14答案A解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-2,1

16、).则cos=MN·OD1

17、MN

18、

19、OD1

20、=16×6=16.∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为. 答案4920/20考试解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2)

21、,A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·DA1=2x+4z=0,n·DE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sinθ=

22、cos

23、=EA·n

24、EA

25、

26、n

27、=49×9=49.∴直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角

28、的平面角的余弦值为. 答案23解析建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).20/20考试设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·A1D=0,n·A1E=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=n·m

29、