高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义1.4.2单位圆与周期性学案北师大版

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1、4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2　单位圆与周期性学习目标　1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．知识点1　任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．(2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的

2、正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α.(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．【预习评价】1．若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　B2．若角α的终边与单位圆相交于点(－，)，则cosα＝________.答案　－知识点2　正弦函数、余弦函数值的符号11【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：x0π2πy＝sinx010－－－1－－0y＝cosx10－－－1－－01知识点3　周

3、期函数(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，f(x＋T)＝f(x)都成立．那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期．(2)y＝sinx的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.y＝cosx的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.【预习评价】如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？提示　不一定，如函数f(x)＝x2，存在非零常数T＝4，存在x＝－2，使得f(－2＋4)＝f(－2)，但是函数f(x)＝x2不是周期函数.题型一　三角函数定义的应用【例1】　已

4、知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析　因为sinθ＝＝－，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.答案　－8规律方法　利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r11.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．【训练1】　若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，则sinα＝________.解析　如图，点P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限，且r＝－m，故有sinα＝＝

5、＝.答案　题型二　有关三角函数值的符号问题【例2】　(1)α是第二象限角，判断sinαcosα的正负；(2)若sinαcosα＜0，判断α是第几象限角．解　(1)∵α是第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinαcosα＜0.(2)由sinαcosα＜0知有两种可能：或故α是第二象限角或第四象限角．规律方法　正余弦函数符号的确定(1)终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sinα＝0，cosα＝－1.(2)终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为

6、正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正．【训练2】　判断下列各式的符号．(1)sin105°·cos230°；(2)sin240°·sin300°；(3)cos·sinπ；(4)cos4·cos5.解析　(1)因为105°是第二象限角，所以sin105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos230°＜0，所以sin105°·cos230°＜0.(2)因为240°是第三象限角，所以sin240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin11300°＜0，所以sin240°·sin300°＞0.(3)因为sinπ＝0.所以cos·sinπ＝0.(4)因

7、为4是第三象限角，所以cos4＜0，又因为5是第四象限角，所以cos5＞0，所以cos4·cos5＜0.【例3】　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)时，f(x)＝2sinx，求f＋f的值．解　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又∵f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为π，∴f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f＋f＝－2sin＋2sin＝－.【迁移1】　在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f(－)＋f()的值．解　由f(x＋π)＝－f(x)知f[(x＋π)