高中数学三角函数4单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义单位圆与周期性教学案北师大版

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1、第1课时　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性[核心必知]1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)正弦、余弦函数的定义：如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α．(3)正弦、余弦函数的定义域，值域：通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示

2、函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin_x和y＝cos_x．它们的定义域为R，值域为[－1，1]．(4)正弦函数、余弦函数值的符号　象限三角　　　　函数　第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋2.周期性(1)周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期

3、中最小的一个，称为最小正周期．-10-(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系①sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；②cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)．[问题思考]1．等式sin(30°＋120°)＝sin30°是否成立？如果这个式子成立，那么能否说明是正弦函数y＝sinx的周期？提示：根据三角函数的定义sin150°＝sin30°＝成立，但不能说是y＝sinx的周期，在周期函数定义中，对每一个x都有f(x＋T)＝f(x)，则T是周期，而等式sin(x＋120°)＝sinx，不是对任意的x成立

4、．如x＝0°时sin120°≠sin0°.2．公式sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．讲一讲1．已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦值和余弦值．[尝试解答]　法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝2x

5、(x＞0)．又因为x2＋y2＝1，所以于是sinα＝y＝，cosα＝x＝.法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x＞0)，则OP＝＝＝

6、x

7、，又因为x＞0，所以OP＝x.-10-所以sinα＝＝＝；cosα＝＝＝.求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法：(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义．(2)利用正、余弦函数定义的推广：若P(x，y)是角α终边上的任意一点，则sinα＝，cosα＝练一练1．[多维思考]　本讲中，把“射线y＝2x(x>0)”改为“直线y＝2x”，求sinα，cosα.解：设直线y＝2x与单

8、位圆的交点为P(x，y)则解得P(，)或(－，－)．当x>0时，P(，)，则sinα＝，cosα＝；当x<0时，P(－，－)，则sinα＝－，cosα＝－.讲一讲2．(1)判断符号：sin340°cos265°；(2)若sin2α>0，且cosα<0，试确定α所在的象限．[尝试解答]　(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°<0，cos265°<0.∴sin340°cos265°>0.(2)∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ<α

9、时，设k＝2m(m∈Z)，-10-有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝(2m＋1)(m∈Z)．有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又由cosα<0，可知α为第三象限角．1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sinα>0；当角α的终边在y轴的右侧时，cosα>0.2．对于确定角α所在象限的问题，应首先确定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．3．由k

10、π<θ