第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷和参考答案(非数学类)

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1、第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案（非数学类）(150分钟)解：（1）====(2)令x=1/t,则原式=（3）（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。答案好像是二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得。证明：方程在恰有两个实根。解：（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开因为二阶倒数大于0，所以，证明完成。三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出

2、相切，求函数。解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得，=。。。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛；（2）当且时，级数发散。解：（1）>0,单调递增当收敛时，，而收敛，所以收敛；当发散时，所以，而，收敛于k。所以，收敛。（2）所以发散，所以存在，使得于是，依此类推，可得存在使得成立所以当时，所以发散五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点P(x,y,

3、z)到直线的距离由轮换对称性，（2）当时，当时，六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线证明（2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。解：（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。则有（2）令由（1）知，代入可得上式将两边看做y的多项式，整理得由此可得解得：（1）取为，方向为顺时针（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）