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《第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类）参考答案及》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四届全国大学生数学竞赛预赛试题（非数学类）参考答案及评分标准一、（本题共5小题，每小题各6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.12(1)求极限lim(!)nn；n→∞⎧23xyz+−+=20(2)求通过直线L:⎨的两个相互垂直的平面π1和π2，使其中一个平面过点⎩55430xyz+−+=(4,3,1)−；2axby+∂u(3)已知函数zuxye=(,)，且=0,确定常数a和b，使函数zzxy=(,)满足方程∂∂xy2∂∂∂zzz−−+=z0；∂∂xy∂x∂y3(4)设函数uux=()连续可微
2、,u(2)1=,且∫(2x++yudx)()xuudy+在右半平面上与路径无关，L求ux()；x+1sint3(5)求极限limx∫dt.x→+∞xtt+cos解11ln(!)n22（1）因为(!)nenn=……………………………………（1分）11ln1⎛⎞ln2lnnlnn而ln(!)n≤+⎜+?+⎟，且lim=0………………………（3分）2nn⎝⎠12nn→∞n1ln1ln2⎛⎞lnn所以lim⎜⎟+++=?0，n→∞nn⎝⎠12112即limln(!)n=0，故lim(!)nn=1………………………
3、……………（2分）2n→∞nn→∞（2）过直线L的平面束为λ(2xyz+−++32)(μ5543xyz+−+=)0即(25)(5)(λ++μλμλμλμxyz+−+++=34)(23)0，…………………………（2分）若平面π过点(4,3,1)−，代入得λ+=μ0，即μ=−λ，从而π的方程为1134xyz+−+=10，……………………………………（2分）若平面束中的平面π与π垂直，则213(2⋅++⋅++λ5)4(μλ5)1(3μλ⋅+=4)0μ解得λ=−3μ，从而平面π的方程为xyz−253−+=0，……
4、…………………………（2分）2∂∂zuaxby+⎡⎤∂∂zuaxby+⎡⎤（3）=+eau()x+y,=+eb⎢u()x+y⎥,………………（2分）∂∂xx⎢⎥⎣⎦∂∂yy⎣⎦2∂∂zuaxby+⎡∂u⎤=+e⎢ba+abuxy(,).⎥……………………………………（2分）∂∂xy⎣∂x∂y⎦2∂∂∂zzzaxby+⎡∂∂uu⎤−−+z=eb⎢(1−+)(1a−+−)(aba−bu+1)(,)xy⎥,∂∂xy∂x∂y⎣∂∂xy⎦2∂∂∂zzz若使−−+=z0,只有∂∂xy∂x∂y∂∂uu(1b−+)(1a
5、−+−)(abab−+1)(,uxy)=0，即ab==1.………………（2分）∂∂xy∂3∂3dx12（4）由()u[x+u]=()(x+2y)u得(x+4u)u'=u,即−x=4u…….（2分）∂x∂yduu方程通解为lnu2−lnu2x=e(∫4uedu+C)=u(∫4udu+C)=u(2u+C).…………………（3分）3/1⎛x⎞由u)2(=1得C=0,故u=⎜⎟.……………………………………（1分）⎝2⎠（5）因为当x>1时，x+1sintx+1dt33x∫dt≤x∫………………………………（3分
6、）xtt+cosxt−133x≤−21xxx()−=2→→0(x∞)，…………………（2分）x+x−1x+1sint3所以limx∫dt=0。………………………………（1分）x→∞xtt+cos+∞−2x二、（本题10分）计算∫e
7、sinx
8、dx0解由于nπnkπ−2x−2x∫e
9、sinx
10、dx=∑∫e
11、sinx
12、dx0(k−)1πk=1nkπk−1−2x=∑∫(−)1esinxdx……………………………………（3分）(k−)1πk=1应用分部积分法kπ1−2kπ2πk−1−2x∫−(−)1esinxdx
13、=e1(+e)………………………………（2分）(k)1π5所以n−2π−(2n+)1πnπ−2x12π−2kπ12πe−e∫0e
14、sinx
15、dx=1(+e)∑e=1(+e)−2π……………（2分）5k=151−e当nπ≤x<(n+)1π时nπx(n+)1π−2x−2x−2x∫0e
16、sinx
17、dx≤∫0e
18、sinx
19、dx<∫0e
20、sinx
21、dx,令n→∞，由两边夹法则，得2π∞−2xx−2x1e+1e
22、sinx
23、dx=lime
24、sinx
25、dx=…………………………（3分）∫0x→∞∫05e2π−12π∞−−
26、22xxnπ11e+注：如果最后不用夹逼法则，而用ex
27、sin
28、dxex==lim
29、sin
30、dx，需先说明∫∫00n→∞51e2π−∞−2x∫e
31、sinx
32、dx收敛.021三、（本题10分）求方程xxsin=−2501的近似解.精确到0.001.xsin()θt2解由泰勒公式sintt=−t(0<<θ1)…………………………………（2分）2⎛⎞θsin⎜⎟111⎝⎠x令t=得sin=−，2xxxx2代入原方程得1⎛⎞θ1⎛⎞θ
