则在中与a等价的矩阵为

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1、习题3.51.设 则在中与A等价的矩阵为，并说明理由．分析等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同.由于是一个的秩为2的矩阵,所以只要在中找出同样是的秩为2的那个矩阵即是与等价的矩阵.解是的,但是它的秩为1所以不是;是的同时秩也是2所以与等价;虽然秩是2但是是的矩阵,所以与不等价.综上知应填.2下述命题正确的是()，并说明理由.(A)若A与B等价，则A=B.(B)若方阵A与方阵B等价，则.(C)若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.(D)若A，B，C，D均为n阶方阵.若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+

2、D等价.解(A)设,由于秩()=秩(),所以他们必等价,但是显然.据此(A)不正确.(B),由于秩()=秩(),所以他们必等价,但是显然.据此(B)不正确.(C)是可逆矩阵,因此是满秩的方阵.根据题意A与B等价,即有秩()=秩(),所以也是满秩的方阵,因此A也是可逆矩阵.据此(C)正确.(D)设,,秩()=秩(),秩()=秩(),所以A与B等价，C与D等价.但是显然不等价.据此(D)不正确.综上知应填.解由于两个矩阵等价,所以两者的秩必相等.,可知该矩阵的秩为2,因此的秩也必须为2.对它作初等行变换.,所以要使得它的秩为2

3、,则.故应填4.4.证明：秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和．证设为秩为r的矩阵,则它必与矩阵等价,所以必存在两个可逆矩阵使得成立.而可以写成r个只有一个元素为1其余为零的矩阵的和的形式:所以有==这样就表示成了r个矩阵之和的形式.而任一个,由于中间那个矩阵只有一个元素非零,所以其秩为1,而可逆,所以三个矩阵的积的秩仍然为1.这样就表示成了r个秩为1的矩阵之和了.5.上题的逆命题“r个秩为1的矩阵之和的秩为r”是否成立?成立请证明，否则举反例．证设显然的秩都是1,但是他们的和的秩是1而不是r.所以该逆命题不成立.6

4、.若将所有n阶方阵按等价分类，可分成几个等价类?每一类的标准形是什么?解可以分成类,秩为0的一类,标准形为;秩为1的一类,标准形为;秩为2的一类,标准形为,,秩为的一类,标准形为.7.设A是n(n>1)阶方阵，A≠O，则存在一个非零矩阵，使得的充要条件为．证对于必要性的证明同习题3.2的第13个习题,下面证明该命题的充分性.若则可知是一个不满秩的n(n>1)阶方阵,据此可知线性方程组有非零解.设为一个非零解,则令.显然是一个非零的矩阵,并且满足.所以存在这样的非零矩阵，使得.8.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵，若m>n

5、，则必有.证由于秩秩(),而是一个的矩阵且>,所以秩().据此可得秩.由于A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,所以是一个的方阵,由于秩<,因此是不满秩的,因此.9.设,是秩为1的３×５矩阵，问矩阵的秩为多少?解由=,可知,所以是可逆矩阵,因此秩()=秩()=1.10.设A为５×３矩阵(1)秩()必．．(2)齐次线性方程组()为().(A)无解；(B)有惟一解；(C)有无穷多解；(D)解不确定，可能有解，可能无解.解(1)A为５×３矩阵,则即为一个的矩阵,利用本节第8个习题可知0,所以秩()必小于等于3.(2)由(1)

6、知秩()3<未知数个数,所以必有无穷多解,所以选填C.