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1、矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree
2、kindsequivalencerelationofthematrixandsomeapplicationsAbstract:matrixequivalencerelationinhigheralgebraoccupiesanimportantposition.Thispaperbrieflydiscussesmatrixequivalent,matrixcontract,matrixsimilarconditionsanditsapplication,givetherelationbetweentheset
3、hreematrixofcontact,namelycontractarray,similararrayisequivalentarray;Conversely,notnecessarilytobeformed;Orthogonalsimilarityandorthogonalcontractisconsistent,andgiveinstructions.Keywords:rotationmatrixsimilarmatrixcontractmatrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵
4、等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。1矩阵等价关系的定义1.1等价矩阵设，是数域上的两个矩阵，如果可以由经过一系列初等变换得到则说与是等价矩阵。定理1两个×阶矩阵，等价的充分必要条件为，存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵使=8×阶矩阵的等价关系具有以下性质:1.1.1反身性：与等价1.1.2对称性：与等价，则与等价1.1.3传递性：与等价，与等价，则与等价1.1.4保秩性：与等价，则秩=秩1.2合同矩阵 设,是数域上的两个阶矩阵，如果有数域上可逆的阶矩阵使=,则称与是合同的。定
5、理２ 两个复对称矩阵合同（在复数范围）的充要条件是秩相等；两个实对称阵合同的充要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。阶矩阵的合同关系具有下列性质：1.2.1反身性：与合同1.2.2对称性：由与合同，则与1.2.3传递性：由与合同，与合同，则与合同1.2.4保秩性：A与B合同，则秩A=秩B1.3相似矩阵设,为数域上的两个阶矩阵,如果有数域上可逆的阶矩阵使得=，则说相似于，记为～.定理３ 两个矩阵相似的充分必要条件是具有相同的不变因子。阶矩阵的相似关系具有以下性质：1.3.1反身性：相似于1.3.2对称性：若相
6、似于，则相似于1.3.3传递性：若相似于，相似于，则相似于1.3.4保秩性：若相似于，则秩=秩由等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵的定义，可以知道每种矩阵关系的成立都需要一定的条件，并且矩阵的这三种关系之间存在着某些联系。2.1若阶矩阵与相似，则与必为等价矩阵；但与是等价矩阵，则与不一定相似8证：设阶矩阵、是相似的，则存在阶可逆的矩阵使得=，由推论1知，若令=，=，则可知,是等价的，可知相似矩阵必为等价矩阵。反之：（1）若阶等价矩阵、满足=，且=，则矩阵、是相似的；（2）若阶等价矩阵、满足=，但，则矩阵、不是相似的
7、；（3）若、是阶矩阵，设=，=，知秩=秩，故、是等价矩阵，但是此时、并不是相似的，可知等价的矩阵不一定是相似的矩阵。2.2若阶矩阵、是合同的，则与必是等价矩阵；但与是等价矩阵时，则与不一定是合同的矩阵证：设阶矩阵与是合同的，由合同的定义知存在阶可逆的矩阵使得=,由定理的推论知矩阵与矩阵等价的充分必要条件是存在可逆的阶矩阵、使得=,故令=，=，可以知道矩阵,是等价的，故合同的矩阵是等价的矩阵。若矩阵、是等价的。（1）当矩阵、是阶的，故存在阶可逆的矩阵、使得=，且=,即有=，故此时矩阵、是合同的。(2)当矩阵、是
8、（且），故存在阶可逆的矩阵和阶使得=例如，如,，秩=秩=3，矩阵、是等价的，但此时矩阵与并不是合同的，故等价的矩阵并不一定是合同的。2.3若阶矩阵与是相似矩阵，则、未必是合同的矩阵；反之，若阶矩阵、是合同矩阵，则、未必是相似的矩阵8证：如下反例，设，存在3阶可逆的矩阵，使得=，可以知道矩阵、是相似矩阵，假设在数域上存在3阶可逆的矩阵，使，经计算有，即得，，，，，，，，。这与矩阵可逆相矛盾，故不存在满
