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1、2.概率的定义及其运算除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某个事件发生的可能性的大小。例如遇到某种天气，人们常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。这是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约是到。一般地，人们希望用一个适当的数字来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小。这是就下雨所讨论的随机事件发生的频率与概率。3.频率定义1.1设在相
2、同的条件下，进行了次试验。若随机事件在这次试验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为。频率具有如下性质：1.对任一事件,有；2.对必然事件,有3.若事件互不相容，则一般地,若事件两两互不相容,则事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次试验中发生的可能性越大。但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次试验，却会不同。但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加试验次数，则随机波动性将会减小。随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。这样常数P(A)客观
3、上反映了事件A发生的可能性的大小。历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的试验，所的结果如下：实验者掷硬币次数出现正面的次数出现正面的频率浦丰皮尔逊皮尔逊4040120002400020486019120120.50690.50160.5005可见出现正面的频率总在0.5附近波动。随着试验次数的增加，它逐渐稳定于0.5。这个0.5就能反映正面出现的可能性的大小。每个事件都由这样一个常数与之对应。这就是说频率具有稳定性。因而可将事件A的频率在无限增大时所逐渐趋向稳定的那个常数P(A)定义为
4、事件A发生的概率。这就是概率的统计定义。1.2.2概率的统计定义定义1.2设随机事件A在次重复试验汇总发生的次数为，若当试验次数很大时,频率稳定地在某一数值的附近摆动,且随着试验次数的增加,其摆动的幅度越来越小,则称数为随机事件A的概率,记为。由定义,显然有0£P(A)£1，P(W)=1，P(f)=0。概率的统计定义本身存在着很大的缺陷,既定义中的“稳定地在某一数值p的附近摆动”含义不清,如何理解”摆动的幅度”？或多或少地带有人为地主观性。频率概率的意义在于（1）它提供了估计概率的方法；（2）它提供
5、了一种检验理论正确与否的准则。1.2.3概率的公理化定义定义1.3设随机试验的样本空间为。若按照某种方法,对的每一事件A赋于一个实数P(A),且满足以下公理：1.非负性:2.规范性:3.可列(完全)可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件有则称实数为事件的概率。由概率的定义可以推得概率的如下一些性质。性质1不可能事件的概率为零,即。证令,且则,于是从而由得。性质2概率具有有限可加性,即若事件两两互不相容,则证因为所以由概率得可列可加性及性质1,得性质3对任何事件,有证因为所以由，即得，同时由,可推
6、得：对任一事件,有性质4对事件、，若,则有证:由图１－１可知且因此由性质2,得，即再由，得性质5对任意两事件、，有。证由图１－２可知且故得，及将以上两式相减,并将移至等号右端，即得性质５还可推广到n个事件的情况.。当n=3时，有一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，则有1.某人外出旅游两天。拒天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。试求：1.第一下雨而第二天不下雨的概率；2.第一天不下雨而第二天下雨的概率；3.至少有一天下雨的概率；4.两天都不下雨
7、的概率；5.至少有一天不下雨的。解设Ai表示第i天下雨的事件，i=1，2。由题意，有P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A3)=0.1(1)设B表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，则由，且得2.设C表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，则同(1)的解法，有3.设D表示至少有一天下雨的事件，则由得。4.设E为两天都不下雨的事件，则由得5.设F表示至少有一天不下雨的事件，则例2某地发行A,B,C三种报纸.已知在市民中订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A,及B报的有
8、10%,同时订阅A报及C报的有8%,同时订阅B报及C报的有5%.同时订阅A,B,C报的有3%.试求下列事件的概率:1.只订A报,1.只订A及B报;2.至少订一种报纸;3.不订任何报纸;4.恰好订两种报纸;5.恰好订一种报纸;6.至少订一种报纸.解设A,B,C分布表示订A报、订B报、订C报的事件，则由题设，有P(A)=0.45,P(B)=0.35,P(C)=0.30,P(AB)=0.10,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC)=0.03.(1)=P(A
