数学竞赛模拟试题2(有答案)

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1、竞赛模拟试题2一、选择题（每小题6分，共36分）1．两条不垂直的异面直线、上，有四个不同的点，其中，对于下列两个命题：①直线与总是异面直线；②（2）点总是不能成为1个正四面体的4个顶点其中正确的命题是（）（A）①　　　　（B）②　　　　（C）①②　　　　　　（D）①与②都不对答案：C解：①正确.假设直线与不是异面直线，则四点共面，从而、共面与异面直线、矛盾，故直线与是异面直线.②正确.假设四面体是正四面体，则棱与垂直，与题设条件直线、不垂直矛盾2．设，且，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）答案：

2、B.解：3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，在椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）答案：C.解：设椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别是、、，离心率为（）则，消去，得∴，即解得，或（舍）4．方程的7个根在复平面上对应了7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限答案：C.解：由复数的开方，得7个复数方根为，其中，容易得只有是第三象限的角5．一个三角形的三边恰为，则这个三角形中的最大角为（）（A）（B）（C）（D）答案：B.解：由，得

3、容易判断∴为三角形的最大边，设它的对角为（）则∴6．函数，对任意的实数，只要，就有成立，则函数（）的奇偶性为（）（A）一定是奇函数（B）一定是偶函数（C）既是奇函数，又是偶函数（D）既不是奇函数，又不是偶函数答案：C.解：∵又∴即其中（）又∴∴∴∴（）∴（）∴函数（）既是奇函数，又是偶函数二、填空题（每小题9分，共54分）7．设正数数列的前项之和为，数列的前项之积为，且，则数列中最接近2008的数是.答案：1980解：由已知，∴，∴∴是以2为首项，以1为公差的等差数列∴∴∴∴∴∵∴数列中最接近2008

4、的数是19808．函数对一切实数满足：，且则在上至少有个零点解：∵∴是以6为周期的函数又∴一个周期内至少有2个零点，而在有7个周期∴在上至少有14个零点9．给图中6块区域进行染色，每块区域只染一种颜色，相邻的区域不同色，若共有4种颜色供选择，则共有种不同的染色方案.答案：96解：的颜色两两不同，它们有种染色方法.对其中任一种染色方法不妨设染色，染色，染色，另一种颜色为色则可染、，可染、，可染、而、、两两相邻，至多一个染色若、、其中一个染色，则共有三种染色方法，若、、都不染色，则只有一种染色方法，所以共

5、有4种染色方法所以不同的染色方法有钟10．函数（是自变量）的图像与轴依次相交于、、，其中直线及与三次曲线分别相切于和（与不重合，与不重合）.则与在轴上的射影之比等于.答案：解：设、、，、则（1）由已知，经过的直线的斜率存在设经过的直线为与（1）相交于两点，这两点的横坐标由给出.当这两点重合于点，即这条直线与相切则，∴点在轴上的射影是中点同理在轴上的射影是中点于是与在轴上的射影之比为（与在轴上的射影方向相反）11．的整数部分和小数部分分别是、，则.答案：1解：考虑∵∴由二项式定理，是整数，即是整数,又是

6、整数∴是整数又，∴∴∴12．关于的方程有实根，则实数的取值范围为.答案：.解：令，则问题转化为方程在内有实根令则有，解得三、解答题（每小题20分，共60分）13．双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线，过作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围解：由，得∴双曲线的中心，右焦点为，∴设是椭圆上任意一点，是椭圆的长轴长，椭圆的焦距，设则（1）又直线的方程为（2）由（1）（2）得由题意知、是这个方程的两个根，圆心坐标为又在椭圆中，由，得又∴∴椭圆

7、的中心坐标为，又在以为直径的圆内∴整理得∵∴∴，即∴14．设，都是实数，证明：证明：设，设与之间的夹角为，与之间的夹角为，与之间的夹角为则问题转化为证明只要证只要证只要证又、、满足若则若∴综上又∴原不等式成立15．设正系数一元二次方程有实根，证明：证明：设，则，，∴，，∴设正系数一元二次方程有实根为则，∴，∴假设，，即∴与矛盾∴不都大于，即第二试（满分150分）一、设的外接圆上的一点关于中点的对称点为，为的垂心，直线交于，为直线上一点，求证：证明：设中点为，∵为的垂心，∴设是关于的对称点则四边形、是平

8、行四边形∴∴在的外接圆上∴，又∴∴为的外接圆的直径∴∴共圆二、求出所有满足下列条件的正整数数列（1）对每个正整数，（2）对任意不同的正整数，有解：当时，由（1），∴当时，，∴，或①当时，由（2），令，得令，得∵∴若∴，即由（1）知∴令，则有，即∴令∴∴在上是增函数，即当时，与矛盾∴当时，再由（2），当时，，即有无穷多个正约数∴同样，可以求出∴所求数列为②当时，令，则且，且，则∴数列也满足（1）（2），这样问题就转化为①由①得，∴∴所求数列为，综上，所求数