复矩阵和的drazin逆

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1、2011年l2月高等学校计算数学学报第33卷第4期复矩阵和的Drazin逆庄桂芬(东南大学数学系，南京21O096／江南大学理学院，无锡214122)陈建龙(东南大学数学系，南京210096)THEDRAZININVERSEOFASUM0FCoMPLEXMATRICESZhuangGuifen(DepartmentofMathematics，SoutheastUniversity，Nanjing210096／SchoolofScience，JiangnanUniversity,Wuxi214122)ChenJianlong(D

2、epartmentofMathematics，SoutheastUniversity,Nanjing210096)AbstractInthispaperwestudytheDrazininverseofasumofcomplexmatricesA，B·Weexpress(A+B)DasafunctionofA，B，ADandBDundertheassumDtionsABD=0，BBAJD：0，BAAB=BABAandgetsomecorollaries．KeywordsDrazininverse，complexmatrices

3、．index．AMS(2000)SUbjectclassifications15A09中圈法分类号O153．31引言国家自然科学基金(10571026，10871051)，高校博士点基金(20060286006．200802860024)收稿日期：2009-02-08．·330·庄桂芬等：复矩阵和的Drazin逆第4期设C”为nXn复矩阵的集合，对A∈C似“，满足rank(Ak+1)=rank(A)的最小非负整数k称为A的指标，记为Ind(A)=k，则存在唯一矩阵A’D∈CnX“，满足下列矩阵方程组【1】：Ak：Ak+XADA

4、D：DAADD：ADAAD称为A的Drazin逆．若Ind(A)=1，则AD称为A的群逆，记为A弗．显然Ind(A)=0当且仅当A非奇异，此时AD=A_。．令A=，一AAD，则由【2】可知，对任意A∈C，Ind(A)=k，存在非奇异矩阵尸使得A=P(品)P_。，其中c为非奇异矩阵，Ⅳ为七次幂零矩阵．因此AD=p(C。-。0)P一1，A=P(oo)P一1．1958年Drazin在文献【4】中首先讨论了环上两个具有Drazin逆的元素a，b和的Drazin逆，在这篇文章中证明了ab=ba=0时，(a+6)D=aD+bD．随后在20

5、01年R．E．Hartwig，王国荣和魏益民在【5】中将条件弱化，在AB：0时利用A，B，D，BD给出了(A+B)D的公式．而在【3】中N．Castro讨论了复数域上矩阵A，B若满足条件(1)：ADB=0，ABD=0，BABA：0时，(A+B)D的表达式．本文主要是讨论了当矩阵A，j5『满足条件(2)：ABD=0，BBAD=0，BAAB=BABA时(A+B)D的公式．由下面的例子可知条件(1)，(2)是互相独立的．例1．1设复矩阵A=(o)，B=(o)，则A，B满足条件(2)但不满足条件(1)；设复矩阵A：(3)，B：(o1)

6、，则A，B满足条件(1)但不满足条件(2)．类似给出了DB=0，BDA=0，ABBA=BABA时(+B)D的公式．同时得到了一些推论．在定理的证明中我们用到了以下重要的引理【6】：引理1．2设M=(A0舅)，其中A∈p，‘D∈cm×m，B∈Cpxm,Ind(A)=r，Ind(D)=s，则M。=()，其中2011年12月高等学校计算数学学报·331·2主要结论Z=首先我们证明本文主要结论的一个特殊情况．∑定理2．1设N∈Cpp为r次幂零矩阵，B∈CP，Ind(B)=s．若N曼、BD=0，BNB=BBN，则Ⅳt(Ⅳ+B)D=BD+

7、∑(BD)“+N(N+B)“，+n=0宝、且Ind(N+B)t+1，其中t=r+s一2．证明设非奇异矩阵P满足B=P(Ⅳ0日)P一，其中CB非奇异，％为s次幂零矩阵．由NBD=0可知，』V可写作Ⅳ=P(3怨)P_‘，其中Ⅳ2为r次幂零矩阵．又由BNB=BBN可得Ⅳ2Ⅳ日=ⅣBⅣ2．因此N2+NB为r+s一1次幂零矩阵．注意到N+B=P(Ⅳ2)，令￡：r+s一2，则由引理1．2可知，Ind(N+B)t+1，且(Ⅳ+B)D=p(C。BN+1％)。尸=P(g)P～，其中令(Ⅳ+JE『)三P((Ⅳ2+ynNB)”、p一1，则B。+壹(

8、n+2Ⅳ(Ⅳ+=P(o)+壹P((l0)¨0)(0)((Ⅳ2))P一-n-0、／‘’、一一=P．)利用定理2．1我们得到本文的一个主要结果．．332．庄桂芬等：复矩阵和的Drazin逆第4期定理2．2设A，B∈Cp，Ind(A)=r{Ind(B)=s．若ABD=0，BBAD=