3.3.3点到直线距离和两条平行直线间的距离

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1、3.3.3点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0

2、,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性,我们假设A、B≠0).图1新知探究提出问题①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的,若A、B中有一个为零,

3、公式是否仍然成立?③回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离)活动:①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x0=0,y0=0时,d=;(ⅱ)x0≠0,y0=0时,d=;(ⅲ)x0=0,y0≠0时,d=.观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点P(x0,y0),d=?学生应能得到猜想:d=.启发诱导:当点P不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置,从而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一般情形

4、转化为特殊情形来处理)证明:设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0,令y=0,得P′(,0).∴P′N=.(*)∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(*)得

5、P′N

6、=即d=,.②可以验证,当A=0或B=0时,上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明:设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点,则点P0到直线Ax+By+C1=0的距

7、离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2,∴d=.讨论结果:①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离公式为d=.②当A=0或B=0时,上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.(2)因为直线3x=2平行于y轴,所以d=

8、-(-1)

9、=.点评:例1(1)直接应用了点到

10、直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没有局限于公式.变式训练点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离等于4,求a的值.解:=4

11、3a-6

12、=20a=20或a=.例2已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积.解:设AB边上的高为h,则S△ABC=

13、AB

14、·h.

15、AB

16、=,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=,因此,S△ABC=×=5.点评:通过这两道简单的例题,使

17、学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点,故可设点斜式方程,再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距

18、离.变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案:.解:点O(0,0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,),则直线MO′的方程为y-3=x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求,相应的

19、

20、PO

21、-

22、PM

23、

24、的最大值为

25、MO′

26、=.课堂小结通过本节学习,要求大家:1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神

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