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1、数学建模姓名:林兴焕班级:轻化工程学号:1090212105•问题背景：在国人初步进入小康社会以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标。医生和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。故研究方向：建立体重变化规律的模型，并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划。•模型分析：人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加。又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。以不伤害自身为前提，进行减肥。
2、•模型假设：1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异；3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal。•基本模型：记第k周末体重为ω(k)，第k周吸收的热量为c(k)；热量转换系数[α=1/8000(kg/kcal)]，代谢消耗系数β（因人而异）1.无运动情况下，体重的基本方
3、程为ω（k+1）=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)，其中k=1，2,3···2.增加运动时，只需把β改为β+β1，β1由运动的类型和运动时间有关。基本方程为ω（k+1）=ω(k)+αc(k+1)-（β+β1）ω(k)，其中k=1，2,3···•减肥计划提出：我们制定一个减肥计划来讨论基本模型。BMI为体重指数。BMI定义为体重除以身高的平方。规定BMI在18.5~24为正常，24~29为超重，大于29为肥胖。事例：某甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.该人目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变
4、。试为他按以下方式制定计划，使其体重降到75千克并维持下去1）在其不运动的情况下，安排一个两阶段的计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收的热量保持下限，减肥达到目标。1）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。2）给出达到目标后维持方案。•建立模型:1)先确定甲的代谢消耗系数β。根据他每周吸收的热量c=20000kcal，体重ω=100kg代入式子ω（k+1）=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)ω(k)=ω(k+1),β=αc/ω
5、=20000*(1/8000)/100=0.25每周每千克体重消耗热量为20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖。第一阶段要求每周减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=10000kcal即ω(k)-ω(k+1)=1，ω(0)-ω(k)=bk代入ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)得c(k+1)=(1/α)[β*ω(k)-b]=(β/α)*ω(0)-(b/α)*(1+βk)根据α,β,b,cmin已知，有c(k+1)=12000-200k≥cmin=1000
6、0得k≤10,即第一阶段共10周，按照c(k+1)=12000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至90kg。第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得ω(k+1)=ω(k)+αcmin-βω(k)=(1-β)ω(k)+αcmin要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得ω(k+n)=(1-β)^n*ω(k)+αcmin[1+(1-β)+(1-β)^2+(1-β)^3+···+(1-β)^(n-1)]=(1-β)^n*[ω(k)-αcmin/β]+αcmin/β已知ω(k)=90,α,β,
7、cmin，求ω(k+1)=75，由上式得:75=（0.975^n)*(90-50)+50解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再过19周就可减至75kg。1)为加快进程，第二阶段增加运动。经调查各项运动每小时每公斤体重消耗的热量:运动跑步跳舞乒乓自行车游泳（50m/min）热量消耗（kcal）7.03.04.42.57.9记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动后的基本模型，其中β’=β+β1，β1=αγt,即ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)试取β1=αγt=0.003，即γt=24，
8、则β’=0.028所以由上式带入已知条件得n=14,即若增加γt=24的运动（每周跑步3.5小时、每周跳舞8小时或自行车10小时），就可将第二阶段时间缩短为14周。若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。由式子ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγ
