物理电磁学 论文

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1、摘要:介绍了电磁学计算方法的研究进展和状态,对几种富有代表性的算法做了介绍,并比较了各自的优势和不足,包括矩量法、有限元法、时域有限差分方法以及复射线方法等。  关键词:矩量法;有限元法;时域有限差分方法;复射线方法  1引言  1864年Maxwell在前人的理论(高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在)和实验的基础上建立了统一的电磁场理论,并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律,这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式,最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解,而且效率也比较高,但是适用范围太窄,只能

2、求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧,甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来,随着电子计算机技术的发展,一些电磁场的数值计算方法发展起来,并得到广泛地应用,相对于经典电磁理论而言,数值方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决,常需要将多种方法结合起来,互相取长补短,因此混和方法日益受到人们的重视。  本文综述了国内外计算电磁学的发展状况,对常用的电磁计算方法做了分类。  2电磁场数值方法的分类  电磁学问题的数值求解方法可分为时域和频域2大类。频域技术主

3、要有矩量法、有限差分方法等,频域技术发展得比较早,也比较成熟。时域法主要有时域差分技术。时域法的引入是基于计算效率的考虑,某些问题在时域中讨论起来计算量要小。例如求解目标对冲激脉冲的早期响应时,频域法必须在很大的带宽内进行多次采样计算,然后做傅里叶反变换才能求得解答,计算精度受到采样点的影响。若有非线性部分随时间变化,采用时域法更加直接。另外还有一些高频方法,如GTD,UTD和射线理论。  从求解方程的形式看,可以分为积分方程法(IE)和微分方程法(DE)。IE和DE相比,有如下特点:IE法的求解区域维数比DE法少一维,误差限于求解区域的边界,故精度高;IE法适合求无限域问题,DE法此时

4、会遇到网格截断问题;IE法产生的矩阵是满的,阶数小,DE法所产生的是稀疏矩阵,但阶数大;IE法难以处理非均匀、非线性和时变媒质问题,DE法可直接用于这类问题〔1〕。  3几种典型方法的介绍  有限元方法是在20世纪40年代被提出,在50年代用于飞机设计。后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。目前,作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法,有限元法已非常著名。  有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。其定解问题为:  应用变分原理,把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题,利用对区域D的剖分、插值,离散化变分问题为普通多元函数的极值问题,进而得到一组多元的代数方

5、程组,求解代数方程组就可以得到所求边值问题的数值解。一般要经过如下步骤:  ①给出与待求边值问题相应的泛函及其变分问题。  ②剖分场域D,并选出相应的插值函数。  ③将变分问题离散化为一种多元函数的极值问题,得到如下一组代数方程组:  其中:Kij为系数(刚度)矩阵;Xi为离散点的插值。  ④选择合适的代数解法解式(2),即可得到待求边值问题的数值解Xi(i=1,2,…,N)  (2)矩量法  很多电磁场问题的分析都归结为这样一个算子方程〔2〕:  L(f)=g(3)其中:L是线性算子,f是未知的场或其他响应,g是已知的源或激励。  在通常的情况下,这个方程是矢量方程(二维或三维的)。如

6、果f能有方程解出,则是一个精确的解析解,大多数情况下,不能得到f的解析形式,只能通过数值方法进行预估。令f在L的定义域内被展开为某基函数系f1,f2,f3,…,fn的线性组合:  其中:an是展开系数,fn为展开函数或基函数。  对于精确解式(2)通畅是无限项之和,且形成一个基函数的完备集,对近似解,将式(2)带入式(1),再应用算子L的线性,便可以得到:  m=1,2,3,…  此方程组可写成矩阵形式f,以解出f。矩量法就是这样一种将算子方程转化为矩阵方程的一种离散方法。  在电磁散射问题中,散射体的特征尺度与波长之比是一个很重要的参数。他决定了具体应用矩量法的途径。如果目标特征尺度可

7、以与波长比较,则可以采用一般的矩量法;如果目标很大而特征尺度又包括了一个很大的范围,那么就需要选择一个合适的离散方式和离散基函数。受计算机内存和计算速度影响,有些二维和三维问题用矩量法求解是非常困难的,因为计算的存储量通常与N2或者N3成正比(N为离散点数),而且离散后出现病态矩阵也是一个难以解决的问题。这时需要较高的数学技巧,如采用小波展开,选取合适的小波基函数来降维等〔3〕。  (3)时域有限差分方法  时域有限差分(FDTD)

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