度量空间和线性赋范空间

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1、第六章度量空间和线性赋范空间第1次课教学内容(或课题)：§6.1度量空间的进一步例子目的要求：在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.教学过程：一复习第二章度量空间的概念设是个集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足，=0;+对都成立，则称(，)为度量空间或距离空间，中的元素称为点，条件称为三点不等式.欧氏空间对中任意两点和，规定距离为=.空间表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.空间记=.设，，定义=.二度量空间的进一步例子例1设是任意非空集合，对于，令18=容易验证，=0;+对都成立.称(，)

2、为离散的度量空间.由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2序列空间令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令=.显然右边的级数总是收敛的.易知，且=0.即满足条件.对，先证+.实因令()，则因为，所以函数在上单调递增.又因为，所以有=++.再令，，，则.由上述已证的不等式，得+.由此推得+对都成立.故按18成一度量空间.例3有界函数空间设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体.，定义=.显然，且=0成立，即满足条件.又，有++所以+.即满足条件.特别当时，=.例4可测函数空间设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，为Lebesgue测度，

3、若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数.令=.若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素，则0且=0，即满足条件.其次(参考例2)==18+=+，对都成立.即满足条件.故按上述距离成为度量空间.作业205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4.利用当时的递增性.第2次课教学内容(或课题)：§6.2(1)度量空间中的极限目的要求：掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义.教学过程：设为度量空间，是距离，定义=为的以为半径的开球，亦称为的邻域.例1设是离散的度量空间，是距离，则=仿§2.2-§

4、2.3，设是度量空间中的一个子集，是18中一点若存在的某一邻域，s.t.，则称为的内点.若是的内点，则称为的外点.若内既有的点又有非的点，则称为的边界点.若内都含有无穷多个属于的点，则称为的聚点.的全体聚点所成集合称为的导集，记为.称为的闭包，记为.若的每一点都是的内点，则称为开集.若，则称为闭集.例2在欧氏空间中，记为全体有理数点的集合，为全体无理数点的集合.则集合及均无内点，均无外点;既是又是的界点，既是又是的聚点;既是又是的导集，既是又是的闭包;、既非开集又非闭集.若如同例1，将集合离散化，则都是的内点，都是的内点，因此、在离散空间中均为开集;、均无界点;之外点集合为，之外点集合为;、

5、均无聚点，因此，，，，故、均为闭集.设是中点列，若，s.t.()则称是收敛点列，是点列的极限.收敛点列的极限是唯一的.实因若设既牧敛于又收敛，则因为，而有=0.所以=.18附注()式换个表达方式：=.即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有距离是和的连续函数.证明++-+;++-+.所以

6、-

7、+例3(205.1)设为一度量空间，令=，=.问=?答在空间中，必有=.在离散度量空间中，当时，=，=，此时.毕.设是度量空间中的点集，定义.=为点集的直径.若=，则称为中的有界集(等价于固定，，，为某正数，则为有界集).中的收敛点列是有界集.实因，设18，则数列收敛于0,故，s.t.

8、有.所以，有+.中的闭集可以用点列极限来定义：为闭集中任何收敛点列的极限都在中，即若，，，则.具体空间中点列收敛的具体意义：1.欧氏空间=，，为中的点列，=，=.对每个，有.2.设，，则=在一致收敛于.3.序列空间设=，，及=分别是中的点列及点，则依坐标收敛于.实因，若对每个有，则因收敛，所以18，s.t..因为对每个，存在，s.t.当时.令，当时，成立.所以当时，成立=++=.所以反之，若，即=.又因为，有，所以当时，0所以，，s.t.当时，成立.所以.所以，有.4.可测函数空间设，，则因=，有.实因，若，则，有.18(不妨设)，取，则.今对这样取定的及，因，故，s.t.当时，成立.所以=

9、+++=.所以.所以.反之，若，即.对，由于.所以，即.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中.作业205.5.作业提示均匀收敛即一致收敛.证明大意如同“序列空间”，并利用=.第3次课教学内容(或课题)：§6.2(2)度量空间中的稠密集可分空间目的要求：掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.18教学过程：Th