距离空间和赋范线性空间

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1、§0.3距离空间1定义和举例2收敛概念3稠密性与完备性在高等数学中研究对象——函数基本工具——极限，是分析理论的基础定义极限的基础——距离在泛函分析中将上述内容推广研究对象——算子、泛函（空间到空间的映射）首先引入度量工具——距离然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。第2页§1定义和举例距离空间设X是非空集合，若按一定xy,,X(xy)0，且满足规则（1）非负性(xy,)0,当且仅当xy时,(xy,)0（2）对称性(xy,,)(yx)距离公理（3）三角丌等式xyz,,X,有(,)x

2、yxz(,)zy(,)则称实数()xy,为元素x不y之间的距离，称X为距离空间或度量空间，记作()XX,或。距离空间中的元素也称为“点”，用“·”表示。第3页距离(),是集合X×X（称为乘积空间或笛卡尔积空间）到实数集合R1上的二元泛函（或称函数）。2）举例例1：1xy,R1，设R是非空实数集合，①若定义()xy,xy，验证知三条距离公理成立，则R1按定义为距离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。第4页xy()xy,②若定义11xy验证知三条距离公理成立，所以，R1按定义1也是距离空间2③若定义2()xy,x

3、y验证丌满足第三条公理，所以R1按定义2丌是距离空间可见，同一空间可以定义丌同的距离，从而形成丌同的距离空间。第5页TTnRn，xxx12,,,xnyyy,,,yR，12n(x,y)maxxy3ii1in(x,y)minxy4ii1inn思考：3(x,y),4(x,y)能否定义R上的距离？第6页常用不等式1：Hölder不等式1p1qnnnpqaibiaibii1i1i1111这里ai,bi是实数或者复数，pq.2：Cauch不等式(f(x),g(x)在E上平方可积)12

4、12nnn22aibiaibii1i1i1121222f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxEEE第7页常用不等式（2）3：Minkowski丌等式11nnknkk1kk(ab)kabiiiii1i1i1这里k1，ai,bi是实数或复数.111kkkkk(f(x)g(x)dx)kf(x)dxg(x)dxEEE这里f(x),g(x)是E上的可测函数，k1.第8页n例2：设R是n维向量全体构成的空间，nx(,,xx,),xy(,yy

5、,,y)R12nn12n2定义()xy,(xiiy)i1证明：Rn在下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间.第9页特别的，当n=1时，()xy,xy，22当n=2时，()xy,(x1y1)(x2y2)如果在R2中，定义dxy(),x1y1x2y2，验证得知R2按d也是距离空间，但不欧氏空间是丌同的度量空间。第10页例3设Cab[,]表示定义在[,]ab上的所有连续函数的全体。xtyt(),()Cab[,]，定义(,)xymax()xtyt()t[,]ab例1：则Cab[,]是距离空间。第11页p例4：设LabP[,](

6、1)表示[,]ab上p方可积的所有函数的pbp全体，即Lab[,]xt()xt()dt。a1/pbppxtyt(),()L,定义(,)xyxt()yt()dtap则Lab[,]是距离空间，常称为p方可积的空间。2特别的，当p=2时，Lab[,]称为平方可积的空间。第12页例5：设lPp(1)是所有p方可和的数列所成的集合，p即x{}xii满足x，i11/ppp对于x{},xiy{}yil,定义(,)xyxiyi，i1p则l是距离空间，常称为p方可和的空间。2特别的，当p=2

7、时,l称为平方可和距离空间。第13页Remarks:对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当的、有意义的距离。对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空间。第14页距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）邻域：设A是一个距离空间，xA,0，则子集Ox(,){y(,)xy,yA}称为x的邻域内点、开集：设xA，若存在Ox(,)A，称x是A的内点。若A中所有的点都是内点，则称A是开集。C闭集：设E是一个集合，AE，若A的补集AEEA为开集，则称A为E中的闭集。第15页极限点（聚点）、导集：设E是一个集合，AE,xE0，