依明江文献综述.doc

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1、新疆农业大学专业文献综述题目:条件极值的若干应用姓名:依明江.艾麦提学院:数理学院专业:数学与应用数学班级:071班学号:074131126指导教师:伊斯拉木江职称:讲师2011年12月10日新疆农业大学教务处制条件极值的若干应用作者:依明江指导老师:依斯拉木江摘要：条件极值是数学分析及实际应用中重要的一部分，本文讨论了条件极值的特点、方法和其他相关理论的联系，并对条件极值问题进行了一系列研究。关键词：极值条件极值拉格朗日乘数法引言：条件极值是极值问题的一部分，条件极值在数学中有着广泛的应用，并且条件极值在解决实际问题中起着重要的作用。条件极值问题的特点是：极值点的搜索范围

2、应受到各自不同条件的限制。解决这类问题的方法叫做拉格朗日乘数法。条件极值还能用来证明或建立不等式。1．问题引入很多极值问题，目标函数自变量不能在其定义域上自由变化，而是要受到某些条件的约束。定义设目标函数为，；约束条件为如下一组方程:，。为简便起见，记并设,若存在,使得，。则称是在约束条件之下的极小值（或最小值）称是相应的极小值点（或最小值点）类似地又可定义条件极大值(或最大值)。2．求条件极值的一般方法—Lagrange乘数法（1）作Lagrange函数；（2）解方程组求得驻点；（3）根据实际问题，确定是否为极值点。3．二元函数在单等式约束条件下的极值函数在约束条件下取得

3、极值的充分条件。定理：若，在平面区域上具有二阶连续偏导数，是的内点，且Lagrange函数为，；若正定，则是在条件下的极小值；若负定，则是在条件下的极大值；若不定，则该方法无法断定。4.条件极值的充分条件方法定理1(充分条件)设函数及在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,为函数在条件下的驻点,且则(1)当时,函数在条件下在点处取极大值。(2)当时,函数在条件下在点处取极小值。定理2　(充分条件)设函数及在的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,为函数在条件下的驻点。.令则在条件下在处是否取得极值条件如下:①时具有极值,且当时有极大值.当时有极小值;②时无极值;③时可能

4、有极值,也可能无极值,需另作讨论。5．三元函数在单等式约束条件下的极值函数在约束条件下取得极值的充分条件。定理：若，存在二阶连续偏导数，且Lagrange函数为，是空间区域的内点，则，，，且当时，若，则是极大值，若，则是极小值；当时，则不是极值；当时，不能断定是否是极值。6．三元函数在两个等式约束条件下的极值函数，，存在二阶连续偏导数，且Lagrange函数为，是空间区域的内点，且为的稳定点，则当时在取到极值，当，取到条件极小值；当,取到条件极大值。其中，。7．多元函数条件极值的充分条件对于目标函数在等式约束条件，；下取得条件极值的充分条件。设，，在维空间区域上具有连续的一

5、阶偏导数，，且为Lagrange函数的稳定点，则7.1当时，有如下定理：定理设，，在维空间区域上具有连续的二阶偏导数，，，为的稳定点。令，，，，其中，，，，，，则当，若，则在取到条件极大值，，则在取到条件极小值；则当时，在不取条件极值；时，不能断定是否在取条件极值。8．特征值法求解二次型的条件最值问题二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题.本文只讨论二次型在条件下的最值及二次型在下的最值问题。定义设有满足条件的个变量，当存在变量，的一组值，使或时，称为最大值（或最小值）。8.1定理1二次型在条件的最大值（最小值）恰是其实数特征值中最大值（最小值）的倍。8.2定理2

6、二次型在下的最大值（最小值）是二次型正数特征值倒数中的最大值（最小值）的倍；当有特征值为时,在下没有最大值，最小值为最大正数特征值倒数的倍。8.3特征值方法的求解步骤根据定理1和定理2，只要知道二次型的特征值，就可以知道或者在特定条件下的最大和最小值了，因此应用特征值方法求解二次型条件最值问题是方便的，其步骤可归纳为：（1）判定问题确实属于定理所描述的二次型条件最值问题；（2）求二次型的特征值；（3）根据定理写出二次型或者在特定条件下的最大值和最小值。结论：本文对条件极值问题进行了系统的研究，并给出了相对简单且便于多元函数在多个等式约束条件下的极值的充分条件，以及条件极值在

7、经济、工科建筑等诸多实际中的广泛应用。参考文献：[1]陈纪修.数学分析(第二版).高等教育出版社,2009.7[2]丁晓庆.工科数学分析（下册）.科学出版学，2002.9[3]杨子胥.高等代数（第二版）.高等教育出版社，2007.7[4]马巧云.特征值法求解二次型的条件最值问题[M].河南科学,2010.1[5]赵树媛.微积分(修订本).北京:中国人民大学出版社,1988.[6]曹学锋,孙幸荣.用条件极值证明不等式[M].长春理工大学学报,2008.9[7]唐军强.用方向导数法求解多元函数极值[M].科技创新导报，