竖直平面圆周运动分析

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1、二、最高点及最大速度问题　　思维定势是创新思维的最大阻碍，它束缚了学生的思路，影响对新知识的认识，这在圆周运动问题中颇为常见．如受物体只有重力作用的思维定势，一般学生总认为，在竖直面上，做圆周运动的物体在经过圆周顶点或称为最高点速度最小，过圆周最低点时，速度最大．以至在复合场中，一牵涉到最小速度或最大动能就出错．　　从运动学角度讲，物体在竖直面上做圆周运动属变加速运动．除向心加速度改变运动方向外，沿圆周轨道的切线方向也有加速度ａ切，其作用是改变速度的大小．当ａ切＞0，表明物体在加速；ａ切＜0，物体在减速；当ａ切＝0时，速度取最大值．由牛顿定律知，当切

2、线方向上的合力为零时Ｆ切＝ｍａ切＝0，加速度ａ切＝0．表明在合外力的切向分量为零处速度最大，动能最大．物体最终要静止在该点，通常也称平衡位置，但它不一定在最低点．　　从功能关系讲，当合外力切向分量不为零时，物体向平衡位置运动，合力做功，动能增大；过了平衡位置，合力做负功，动能减小；在平衡位置处，物体动能最大，因此速度有最大值．而与平衡位置在同一直径上的圆周另一点速度最小，相当于圆周运动的“最高点”．　　例3如图5所示，在竖直平面内有一场强为Ｅ＝10４Ｎ／Ｃ的水平匀强电场，一质量ｍ＝0．04ｋｇ、带电量为ｑ＝3×10－５Ｃ的小球，用长ｌ＝0．4ｍ细绳

3、拴住悬于电场中O点，当小球处于平衡时，问在平衡位置以多大的速度释放小球，则能使之在电场中做竖直平面内的圆周运动?　　析与解设小球在A点平衡，所受重力方向竖直向下，电场力Ｆ方向向右，拉力T沿绳指向圆心，如图5所示．该点为圆周运动的“最低点”，过A点有最大动能．圆周运动的“最高点”在与A同一直径上的B点．要使球刚能做圆周运动，过B点应有最小速度ｖＢ，此时向心力最小，拉力Ｔ＝0，ＦＢ＝＝ｍｇ／ｃｏｓθ．由Ａ点为平衡位置可得　　　ｃｏｓθ＝ｍｇ／＝0．8，　　ｓｉｎθ＝ｑＥ／＝0．6．由牛顿第二定律有　　Ｆ合＝ｍａ，ｍｇ／ｓｉｎθ＝ｍｖ２／ｒ，得

4、临界速度ｖＢ＝．　在整个过程中，只有重力和电场力做功，机械能和电场能守恒．取A点为零势能点，有　　（1／2）ｍｖ２Ａ＝2ｍｇｌｃｏｓθ＋2ｑＥｌｓｉｎθ＋（1／2）ｍｖ２Ｂ，　　ｖＡ＝，代入数据得ｖＡ＝5ｍ／ｓ．　　（本题也可求等效重力加速度ｇ′＝ｇ／ｃｏｓθ＝12．5ｍ／ｓ２，在B点临界速度ｖ＝＝ｍ／ｓ，再由动能定理求得ｖＡ＝5ｍ／ｓ）．　　三、学科综合问题　　竖直面上圆周运动可综合物理学科许多知识，如前述例1、例3，它牵涉到的知识有力学中的运动学、牛顿定律、动能、机械能，电学中的电场力、电势能等，还可以与磁场知识综合（如外力由磁场力

5、提供）．解这类问题，关键是弄清事件发生的物理过程，然后分段运用相关知识处理，而这一点也恰是学生的难点．学生往往受思维定势影响，缺乏全面分析，凭经验或直觉处理而出错．　　例4　质量为ｍ、带电量为ｑ的小球用长为ｌ的细绳悬在电压为Ｕ、相距为ｄ（ｄ＞ｌ）的无限大两金属板中的Ｏ点．静止时绳与竖直方向夹角为15°，现将小球拉至与水平方向成30°角的A点，使绳绷紧，由静止释放，如图6所示．求小球过最低点B时绳对球的拉力．　　析与解　学生在分析本题的容易出现的错误有三个：　　（1）没有注意电场的存在，认为小球先在重力作用下做自由落体运动，而后在拉力和重力共同作用下做

6、圆周运动；（2）认为小球受重力、电场力、拉力作用，拉力不做功，从A到B的全程中机械能与电势能守恒；（3）没有与例3中的电场方向比较，想当然地认为平衡位置在B点右侧，小球沿AB圆弧做圆周运动．对本题的正确分析如图7所示，小球在电场中受竖直向下的重力，水平向左的电场力和绳子拉力的作用．其平衡位置在B点左侧的D点，由平衡条件可得重力G与电场力F的合力与竖直方向成15°角．小球在A点释放后，细绳拉力为零，球沿重力和电场力的合力方向做匀加速直线运动，加速度ａ＝（Ｆ合／ｍ）＝ｇ／ｃｏｓ15°，运动到图中Ｃ点．由几何关系知，绳与竖直方向成30°角，绳子绷紧，产生拉

7、力，速度发生变化．系统在C点机械能不守恒，部分转化为绳子内能，但动量守恒．之后在拉力、重力和电场力三力作用下沿CB弧做圆周运动．具体应分段处理．　　物体由A下落至C，重力和电场力做功，由动能定理，有　　ｍｇｌ（ｓｉｎ30°＋ｃｏｓ30°）＋（Ｕｇｌ／ｄ）（ｃｏｓ30°－ｓｉｎ30°）＝（1／2）ｍｖ２Ｃ，解得　ｖ２Ｃ＝（1＋）ｇｌ＋（－1）（Ｕｑｌ）／（ｄｍ）．　　在Ｃ点，将ｖＣ分解为沿切向分速度ｖＣ１＝ｖＣｓｉｎ45°和沿半径方向分速度ｖＣ２＝ｖＣｃｏｓ45°．由于细绳拉力的冲量，使ｖＣ２′＝0，小球切向方向动量守恒，ｍｖＣ１＝ｍｖＣ１′，小球

8、以ｖＣ１′＝ｖＣ１沿圆周运动到最低点B．　　ｖＣ１′＝ｖＣｓｉｎ45°＝（／2）．　　运动过程能量守恒，取B