数形结合思想在解题中的应用

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1、数形结合思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师　汤彩仙一、复习策略1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法．它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质．2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质

2、和数学技能．3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础．4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台．5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形

3、结合的习惯，解题先想图，以图助解题．用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”．二、典例分析例1．(07全国II)在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．解：　　在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率与在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8．例2．（2007湖南）函数的图象

4、和函数的图象的交点个数是（　）　　　A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1解：由图像易知交点共有3个．选B.例3．　　　A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　　D.1个或2个或3个解：　　出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）．例4．曲线y=1＋(－2≤x≤2)与直线y=r(x－2)＋4有两个交点时，实数r的取值范围___________．解析：方程y=1＋的曲线为半圆，y=r(x－2)＋4为过（2，4）的直线.答案：（］例5．分析：　　　　．例6．求函数的最大值．解：　　

5、由定义知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（－2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圆．　　设切线为AT，T为切点，

6、OT

7、=1，

8、OA

9、=2．　　∴，∴0≤kAM≤．　　即函数的值域为[0，]，故最大值为．点评：　　（1）有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式

10、——可考虑与直线的截距相联系．　　（2）本题也可如下转化：令Y=，X=2＋x，则(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圆(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知．变式1　解法一（代数法）：，．．．．解法二（几何法）：．．．．．．．．变式2　分析：　　转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元．解：　　　　．　　第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）．　　相切于第一象限时，u取最大值

11、．　　．　　．　　．例7．已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.则

12、PF1

13、＋｜PA｜的最大值为__________,最小值为_____________。解：　　由可知a=3，b=，c=2，左焦点F1(－2,0),右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，｜PF1｜=2a－｜PF2｜=6－｜PF2｜，　　∴｜PF1｜＋｜PA｜=6－｜PF2｜＋｜PA｜=6＋｜PA｜－｜PF2｜．　　如图：由｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知－≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右

14、“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜－｜PF2｜的最大、最小值分别为，－.于是｜PF1｜＋｜PA｜的最大值是6＋,最小值是6－.数形结合的热点专题用导数探讨函数图象的交点问题　　2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题；②函数的单调性和单调区间问题；③函数的极值和最值问题；④