谈数形结合思想在解题中的应用

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1、谈数形结合思想在解题中的应用　　数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。　　1.将数的问题转化为形的问题　　例1已知：0　　求证：a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（

2、1-a）2+（1-b）2　　≥22。　　分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度，2可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：　　证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则O1A=a2+（1-b）2；O1B=（1-a）2+b2；O1C=（1-a）2+（1-b）2；O1D=a2+b2；AC=BD=2。　　∵O1A+O1B+O1C+O1D=（O1A+O1C）+（O1B+O1D）≥AC+BD=227（当且仅当点O，O1重合时，等号

3、成立）　　∴结论成立。　　分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。　　证明：在坐标系内，设O（0，0），M（1，0），N（1，1），P（0，1），Q（a，b），如图（2）所示：　　则：

4、OQ

5、=a2+b2

6、MQ

7、=（1-a）2+b2　　

8、PQ

9、=a2+（1-b）2

10、NQ

11、=（1-a）2+（1-b）2　　左边=

12、OQ

13、+

14、MQ

15、+

16、PQ

17、+

18、NQ

19、　　=（

20、OQ

21、+

22、NQ

23、）+（

24、PQ

25、+

26、MQ

27、）　　=≥

28、ON

29、+

30、PM

31、=22=右边　　当Q点与PM、ON的交点重合时，“=”成立　　∴原不等式成立　　上面一题

32、是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。有些数学符号语言有它的几何意义，这类题直接入手较难时，不妨借助图形的辅助，使抽象问题具体化，会找到较简单地解题方法。　　2.将形的问题转化为数的问题。　　例2：已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=135°，AD=2，AB=1+3，BC=26，求CD。　　解：以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，则A（0，0），B（1+3，0），C（1+33，23），D（1，3）。　　易求：CD=157　　总结：象这类几何题若单纯用几何方法解要添加辅助线，要用正弦定理解两个三角形，运

33、算量复杂，但转化为代数形式运算问题就简单得多，在计算中发挥以数助形的优势。　　3.数形结合在求函数最值中的应用。　　有些函数最值问题若用纯代数方法解较为复杂，若能将题中已知问题中的几何意义转化出来，借助直观的几何图形便可找到解决问题的有效途径。　　例3：函数y=x2+2x+2+x2-4x+8的最小值是。　　解：将原式变形为y=（x+1）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2　　设A（-1，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在x轴上求一点P，使

34、PA

35、+

36、PB

37、最小，如图（3）所示：　　作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴

38、于点P，　　易证：

39、PA

40、+

41、PB

42、=

43、PB

44、+

45、PA'

46、≥A'B=32　　∴原函数的最小值是32　　例4：求y=sina2-cosa（0　　解：把它看成A（2，0），与半圆x2+y2=1（y≤0）上任意一点P（cosa，sina）的连线的斜率，则当这A（2，0）的直线与半圆x2+y2=1（y≤0）相切时，如图（4），斜率最大。　　∴ymax=kPA=32　　例5：已知：x+y+1=0，求（x-1）2+（y-1）2的最小值。　　解：把（x-1）2+（y-1）2看成直线x+y+1=0上任意一点P（x，y）到定点A（1，1）的距离，如图（5）。　　则

47、：d=?Ax0+Bx0+CA2+B2??1+1+1?2=322.7　　归纳：在求最值中两点距离公式、斜率公式、利用直线系的截距等这些公式的几何背景是数形结合解题的有力工具，常用方法。　　4.数形结合在三角中的应用。　　有些三角问题，初看无法将它直接译为几何图形来解决，但只要将其正确地进行恒等变形，能使用熟悉的数学模型巧妙地构造出几何图形来，充分体现了以形助数的作用。　　例6：计算sin270o+sin280o-2cos20ocos10o的值。　　分析：这是一道纯三角函数求值问题，你对其进行恒等变形。　　解：原式=sin270o+sin280o-2

48、sin70osin80o×322.　　=sin270o+sin280o-2sin70osin80ocos30o　　此时可以构造一个外接圆