数学：2.2《直接证明与间接证明》素材(新人教a版选修2-2)

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1、例说综合法与分析法所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法。综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知→可知→…结论”。所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法。分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知→需知→…已知”。 例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞   证明一：(分析法)   要证+＞成立，   只需证(a+b)(-ab+)＞ab(a+b)成立，   即需证-ab+＞ab成立。(∵a+b＞0)   只需证-2ab+＞0成立，

2、   即需证＞0成立。   而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。      证明二：(综合法)∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0   亦即-ab+＞ab   由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(-ab+)＞(a+b)ab   即+＞，由此命题得证。www.ks5u.com高考资源网在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析

3、法伴随着它。特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难。为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采用同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标。从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径。上面所言的思维模式可概括为如下图所示：　综合法与分析法都是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用。把分析法与综合法两者并列起来进行思维，寻求问题的解答途径方式，

4、就是人们通常所说的分析、综合法。下面举一具体例子来加以说明。例2、若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。证明：要证lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc，只需证lg··>lg（a·b·c），只需证··＞abc。但是，，，。且上述三式中的等号不全成立，所以，··＞abc。因此lg+lg+lg＞lga+lgb+lgc。注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法。www.ks5u.com高考资源网谈综合法与分析法的应用综合法与分析法是数学中的重要方法，它是求解与分析数学问题思维基础，很多看似较难的问题通过合理、准确的使用综

5、合法与分析法，都能使结论快速产生；本文再谈此两法的应用，进一步揭示两法的应用技巧，望对你的学习能有所帮助；1、使用综合法综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁？例1、设，求证：证明：由于时，，得那么，上述第一个不等式中等号成立的条件为：故原不等式成立。点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要；你知道是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去；如何消？只有经过平方，才能将从根号中“解救”出来，“解救”出来后

6、才有消去的可能；于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的就“浮出水面”，解法自然也就诞生了；2、使用分析法分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施；例2、设为任意三角形边长，，试证：证明：由于欲证，只需，只需证，即；只需证且；先看，只需证，即，显然，此式成立，再看，只需证；只需证；只需证且且，由于为三角形边长，显然，结论成立；故点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去

7、很难“接受”的，转化为较为亲切的，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多；3、综合法与分析同时使用综合法与分析法是数学中的两个“大法”，在求解具体数学问题时，不是孤立的，往往它们会联手出击；例3、试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么这两个角相等；已知：如图，与中，且，且两角的方向相同；求证：分析：（1）与不可能用平行线的性质，只有考虑构造两个全等的三角形，再设法证明两三角形全等；为此，分别在上截取，，连结，得到；（2）欲证两三角形全等，只需证；（3）只需证是