14-3利用旋转的思想解决其他几何问题、平移＋旋转

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1、14-3利用旋转的思想解决其他问题旋转使得几何元素的位置发生变化，往往伴随着边与角的重新组合，其中涉及勾股定理的逆定理、角度加减及线段的最大值最小值问等题。一、关于旋转的思考掌握数学思想方法可从两个方面入手，一是归纳重要的数学思想方法。二是归纳重要题型的解题方法。在旋转这部分，需要掌握两个图形，很多中考题、中考模拟题都是从这两个图形演变过来的。扩展：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等如图：在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE例1:等边△ABC，P是△ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将△AB

2、P逆时针旋转60度，可以得到△APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形△PCD,已知PA、PB、PC的长可以求出∠APB、∠APC、∠BPC当P点的位置发生变化时（点P在△ABC的外部）当变换背景为等腰直角三角形或正方形时一、旋转与角的加减、勾股定理逆定理问题旋转伴随的几何元素的位置的变化会使得这些元素重新组合，会产生新的角或者新的多边形。例1(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是_____________。A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随、、的变化而变化例2(通州区20

3、09一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．课堂练习：(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长_____________。如

4、图所示，为正方形内一点，若，，.求：⑴的度数；⑵正方形的边长.三、平移＋旋转例1（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理

5、由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3关于几何变换的辅助线表述问题：在严格证明的问题中不能只说“平移”、“翻折”、“旋转”，要说明作辅助线的具体内容：“过某点作××∥××”；“延长××到×点，连接××”；“在××上截取××=××，连接××”；“作∠×××=∠×××，在××截取××=××，连接××”.四、线段最大值最小值、角的度数与旋转22.（本题满分4分）阅读下面材料：阅

6、读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是.（结果可以不化简）22.阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=

7、，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)图2中∠BPC的度数为；(2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．作业（2007广州）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上