利用旋转解决几何问题教案

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1、利用旋转巧解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角，利用其性质可以解一些几何题，对同学们在解此类问题时有所帮助，下面举例说明。一、旋转在解三角形中的应用1.正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。例1.如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，P

2、B=4，PC=5，∠APB的度数是________.1如图1所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的边长。6图1分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。解：把△BPA绕B点逆时针方向旋转60°得到△BHC。因为BP=BH，∠PBH=60°所以△BPH是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH又因为HC=PA=2，PC=4所以所以△HCP是Rt△，所以∠CHP=90°又因为HC=2，PC=4所以∠HPC=30°又因为∠BPH

3、=60°，所以∠CPB=90°在Rt△BPC中，=12+16=28，那么△ABC的边长为。2如图2，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？图2解：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。因为BO=BM，∠MBO=60°所以△BOM是等边三角形，所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55°又因为∠AMB=∠COB=125°所以∠AMO=65°又因为AM=OC，MO=BO所以△AMO正好是以AO、OC、BO为边组成的三角形，所以∠MA

4、O=180°－（55°+65°）6=180°－120°=60°即：以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。2、直角等腰三角形在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 例2．如图，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。1如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N是斜边AB上的点，且∠MC

5、N=645°，AM=3，BN=5，则MN=．分析与解：基于在△ABC中，∠C=90°，AC=BC及AM、BN、MN共线特点的考虑，选择旋转法解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中．将△ACM绕点C顺时针旋转90°得到△BCQ，连结QN，则∠MCQ=90°，△ACM≌△BCQ，∴CQ=CM，BQ=AM=3，∠BCQ=∠ACM，∠CBQ=∠CAM=45°，即∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，在Rt△NBQ中，得NQ=；另一方面，∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，∴∠BCQ+∠BCN=45°，即∠Q

6、CN=45°，∴∠QCN=∠MCN，又CQ=CM，∴△MCN≌△QCN，∴MN=QN=．推论：在解题过程中，会发现图形中的线段AM、BN、MN组成一个直角三角形，即有结论：MN2=AM2+BN2．类比练习：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提示：将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连结ED，则∠EAD=90°，△ABE≌△ACD，∴BE=DC，AE=DC，∠ABE=∠ACD=45°，即∠BED=90°，在Rt△BED中，DE2=BD2+BE2=BD2+CD2；在Rt△AED中，D

7、E2=AE2+AD2=2AD2，∴BD2+CD2=2AD2，即BD2+CD2=2AD2．二、旋转在正方形中的运用例3如图3，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为，则这个旋转的角度为多少？6图3解：连结BH。由旋转可知，Rt△又因为所以又BC=2，所以由勾股定理得在Rt△BCH中，，所以∠HBC=30°所以∠=60°，∠=30°，所以这个旋转角为30°。4如图4，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，若PB=3，求的长。图4分析：将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重

8、合，实际上就是把△ABP顺时针方向旋转90°可得，即