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《数列经典例题精析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、经典例题精析类型一：数列的概念 1．写出数列-1,1,-1,1,……三种以上不同形式的通项公式。 思路点拨：从奇偶项考虑或从三角函数的周期性考虑。 解析： ①；②； ③()；④() 2．写出数列：，，，，……的一个通项公式. 思路点拨：从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,,,,…可用表示； 解析：通项公式为：. 总结升华： ①求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项 分别记作，，，…，那么求数列的通项公式
2、就是求以正整数(项数)为自变量的函 数的表达式； ②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； ③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的 通项公式，以此参照进行比较. 举一反三： 【变式1】数列：，，，，……的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表： （1）前行共有几个数？ （2）第行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第行的各数之和； （4）数10
3、0是第几行的第几个数？ 【答案】 （1）； （2），； （3）； （4）第14行的第9个数。类型二：等差、等比数列概念及其性质 3．在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积； 解析： 方法一：设插入的个数为，且公比为，则 ∴，（） 方法二：设插入的个数为，， ，， 总结升华：第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到
4、. 举一反三： 【变式1】等比数列中，各项均为正数，且，，求 【答案】 方法一：设等比数列首项为，公比为q， 则. 方法二：∵，， ∴ ∵，∴。 【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，，，…，，…恰为等比数列，且知,,. （1）求； （2）证明:. 【答案】依题意:，，. ∵，，为等比数列， ∴，解得. ∴等比数列的首项，公比， ∴ 又在等差数列中是第项，∴ ∴（）， 解得. （2） 4．已知等差数列，,,则（ ） A．125
5、B．175 C．225 D．250 解析： 方法一：∵为等差数列， ∴,,成等差数列，即 ∴， 解得, ∴选C. 方法二：取特殊值，令，由题意可得,, ∴，， ∴, ∴选C. 方法三：,, 两式相减可得， ∴. ∴选C. 总结升华：解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用. 举一反三： 【变式】已知等比数列，,,则（ ） A.75 B.2880 C. D.63 【答案】 方法一：∵为等比数列，
6、 ∴,,成等比数列，即 ∴，解得， ∴选D. 方法二：取特殊值，令，由题意可得,， 则，∴，， , ∴选Ｄ. 方法三：,, 两式相除可得,, , ∴选D. 5．如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差. 思路点拨：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量. 解析：设等差数列首项为，公差为d，则 总结升华： 1.恰当地选择设未知数，列方程（组）
7、求解。方程思想在数列中很重要。 2.等差（比）数列的首项和公差（比）是关键。 举一反三： 【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数。 【答案】设这三个数为、、， 由题知，解得， 又∵，，构成等差数列， ∴，即， 解得或， ∴这三个数为2，6，18或18，6，2。 6．等差数列中，,，则它的前________项和最大，最大项的值是______. 思路点拨：等差数列前n项和,当
