数值分析教案4new

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1、§1插值型数值求积公式教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。教学时数12学时教学过程1．1一般求积公式及其代数精度设是上的权函数，是上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分的最一般方法是用在节点上函数值的某种线性组合

2、来近似其中是独立于函数的常数，称为积分系数，而节点称为求积节点。我们也可将（1．2）写成带余项的形式（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数在某些点的低阶导数值。在（1.3）中余项也称为求积公式的截断误差。一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。定义1若求积公式（1.2）对任意不高于次的代数多项式都精确成立，而对不能精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。例1确定求积公式的代数精度。解。从而该求积公式的代数精度为。对给定节点，如何选

3、择求积系数使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。1．2插值型求积公式对给定求积节点构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。设是关于的Lagrange插值多项式其中为Lagrange基函数。取其中。定义2对给定互异求积节点，若求积系数是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度。证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则上面我们假设了。从而当为次数的代数多项时必精确成立，故有。假设。注意到多项式的次数为，对=数值求积精确成立，从而即其求积系数由（1．4）给出。推论

4、1对给定求积节点，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。例1求插值型求积公式并确定其代数精度。解。从而求积公式为且。对从而。若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。推论2若是插值型求积公式，则有余项公式其中1．3Newton-Cotes求积公式在[a,b]上的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。设令则求积系数为其中因此，Newton-Cotes公式为其中由（1．6）给出。求职系数独平于区间[a,b]称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-

5、1）给出。n=1,2的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积来近似曲边梯形面积（图4-1）。即表4-1（1.8）的Newton-Cotes公式称为Simpson公式:（1.9）Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线为曲边的曲边梯形面积来近似为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。Newton—Cotes公式分别为Simpson法则（公式）和Cotes公式。1.4Newton—Cotes求积公式的余项定理２　　若，则梯形公式(1.8)的余项为　　　　　　　　　　　　　(1.10)证明　

6、　由插值型求积公式的余项得利用在上不变的号，由积分中值定理得定理３　　若，则Simpson公式(1.9)的余项为　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.11)证明　　由例１知Simpson公式的代数的精度为。令为的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：对多项式，Simpson公式精确成立，即：从而利用上小于等于零，由积分中值定理给出　　　　可以证明，对一般的，只要充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为（n为奇数）（n为偶数）　　（1．2）其中。例3用、2、3、4、5相应的Newton—Cotes公式计算积分解、2、3、4、5相应Newton—Cotes公式所得积分近似

7、值见表4-2表4-2n积分近似值10.920735420.946145930.946110940.946083050.9460830积分的准确值是0.9460830。容易发现的结果比有显著改进，但相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性求积分式（1.2）的数值稳定性是指的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。设的近似值。