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1、电力教研室数值计算方法梁海峰第三章线性代数方程组的数值解法二、主元素消元法还有一种方法称为列主元素消去法，其基本思想为主元素只在列中选取，优点，可避免换列，（变量位置调整），使得编程更加简单。例1用列主元素消去法解方程组⎧12xx−+33x=15①123⎪⎨−18xx+−3x=−15②123⎪⎩xx++x=6③123取四位有效数字计算。解：②中-18为主元,交换②和①得⎧−18x1+3x2−x3=−15①⎪⎨12x1−3x2+3x3=15②⎪⎩x1+x2+x3=6③②+①×12/18,③+①×1/18得⎧−+18xx3−x=−15123①⎪⎨−+xx232
2、.333=5.000②⎪⎩1.167xx+=0.9445.167③23第二列消元时,主元为1.167,交换方程②和③得⎧−+18xx3−x=−15①123⎪⎨1.167xx+=0.9445.167②23⎪⎩−+xx2.333=5.000③23③+②×1/1.167得⎧−+18xx3−x=−15123①⎪⎨1.67xx23+0.944=−15②⎪⎩3.142x=9.428③3回代求得x=1.000,x=2.000,x=3.001123方程组的实际解x=1,x=2,x=3123列主元素消去法的计算过程为:(1)消元过程。对于k=1,2,…,n-1进行下述运算:
3、①选主元,确定r(r=k,k+1,…,n)，寻找绝对值最大的ark；若a=0,说明系数矩阵为奇异,则停止计算否则rk进行下一步。②交换A的r、k两行；③对i=k+1,k+2,…,n；j=k+1,k+2,…,n+1计算a-a·a/aaijikkjkkij(2)回代过程。对于k=n,n-1,…,1计算nx=(a−ax)/akk,n+1∑kjjkkj=k+1图3.1图3.1第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法高斯消去法具有消元和回代两个过程。如果方程化成只有对角线具有数值，而其他的位置均为零，那么就可以直接得出方程组的解。进一步如果方程组化为下列形
4、式：⎧akk=1k=1,2,3,Ln⎪⎪i=1,2,3,Ln⎨a=0(j=1,2,3,Ln)⎪ij⎪⎩i≠j第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法这种方法叫做高斯—约当消元法特点：每次消元时不但将（k，k）以下的元素消为0，而且同时把（k，k）以上的元素消为0。第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法例：解方程组：⎧2x1+2x2+3x3=3⎪⎨4x1+7x2+7x3=1⎪−2x+4x+5x=−7⎩123第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法增广矩阵⎡2233⎤⎢⎥M=4771⎢⎥⎢⎣−245−7⎥⎦第三章线性代数方程组的
5、数值解法三、高斯—约当消元法消元过程⎡719⎤⎡2233⎤⎢20⎥33⎢⎥⎢⎥M→031−5→031−5⎢⎥⎢⎥⎢⎣068−4⎥⎦⎢0066⎥⎢⎣⎥⎦第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法消元过程⎡719⎤⎢20⎥⎡2004⎤⎡1002⎤33⎢⎥⎢⎥⎢⎥031−5→030−6→010−2⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢0066⎥⎢⎣0066⎥⎦⎢⎣0011⎥⎦⎢⎣⎥⎦第三章线性代数方程组的数值解法三、高斯—约当消元法解得：⎧x1=2⎪⎨x2=−2⎪x=1⎩3第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法设有线性方程组：⎧ax+ax+L+ax=b1111221nn
6、1⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2⎨⎪M⎪ax+ax+L+ax=b⎩n11n22nnnn第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法对许多工程问题，系数阵为常数阵，经常求解时，只是b、b、b、…b在改变，运用前面的高123n斯消去法，由于需要系数增广矩阵，所以每次b、1b、b、…b改变时，增广矩阵需要重新形成，重23n新计算，工作量和机时占用都很大。第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法rrAX=b，若非奇异阵A⇔LU而且L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。则rrrrr⎧LY=bYLU{X=b⇔⎨rrrrUX=YXY⎩该种方法称为LU
7、分解法。第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法如果L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。则称杜里特尔分解。如果L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。则称克洛特分解。主要讲杜里特尔分解。第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法一、特殊情况：⎡uuu⎤⎡1⎤⎡uuu⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥0uu=01uu⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣00u⎥⎦⎢⎣001⎥⎦⎢⎣u⎥⎦第三章线性代数方程组的数值解法3.2矩阵分解法二、一般情况求解方法：1．求U的第一行和L的第一列：行：（U阵的第一行直接写下）列：（L阵的第一列除以u后写下）11a=1⋅u=uj=1,2,L,n1j1j1ja=
8、l⋅ui=1,2,L,ni1i111∴u=a1j1jl=a/ui1
