浅谈导数定义及其应用

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1、浅谈导数定义及其应用浅谈导数定义及其应用浅谈导数定义及其应用浅谈导数定义及其应用第3期(总16期)2005年9月河北能源职业技术学院J,,urnalofHebeiergyInstituteofVocationandI’ochnolo~‘.3(sIllT1NI1.I6)Sep.2005文章编号:1671—3974(2005)03—0088—03浅谈导数定义及其应用施荣权,孙红明(泰州市电大靖江分校,江苏靖江214500)摘要:在各类升学考试《高等数学》试卷中都涉及导数定义的题目,考生失分率高,主要原因是

2、学生对导数定义不够重视,对导数概念理解不够透彻.本文对导数定义进行剖析,将导数定义延拓并论证,结合例题突出对应用导数定义求极限,求导数的关键点,旨在帮助学生掌握导数定义及其应用.关键词:导数定义;求极限:计算导数;抽象函数求导中图分类号:0172文献标识码:AElementaryIntroduction011theDefinitionandApplicationofDerivativeSHIRong?—quanSUNHong?-mingAbstract:Thetidesaboutthedefiniti

3、onofderivativeareinvolvedin”AdvancedMathematics”papersofallkindsofentranceexam.Themainreasonwhyexamineeslosesomanymarksisthatthestudentspaynomoreattentiontothedefinitionofderivativeandcantunderstandtheconceptofderivativecorn—pletely.isessayfocusesonanal

4、yzingthedefinitionofderivative.promotingandarguingit;emphasi—zingthekeypointsinapplyingthedefinitionofderivativetocalculatelimitandderivativebyusingex-amples.eessaymainobjectiveistohelpstudentsmasterthedefinitionofderivativeanditsapplica—tion.Keywords:t

5、hedefinitionofderivative;calculatelimit;calculatederivative;calculatederivativeinab-stractfunction近年来,在研究生,专升本,专转本等人学考试试卷中经常出现涉及导数定义(概念)的题目,统计资料反映考生这部分失分率较高,究其原因主要是学生对导数定义不太重视,导数概念理解不够透彻,而导数定义在求极限,导数计算和证明中都是十分重要的.波里亚在《怎样解题》一书中指出“回顾定义”是一项重要的智力活动,面对一个数学问题

6、,”如果我们只知道概念的定义,别无其他,我们就不得不回到定义.”本文就导数定义进行剖析,结合例题对导数定义应用的关键点进行探讨,以期对学生掌握导数定义及其应用有所帮助.一,导数定义及其延拓限众所周知,函数在某点导(‰)定义源于极原始定义:=…lim(1)或=～lim- c≠0)推论2:若)在及其邻域内可导()在.及其邻域内连续,且当a一0,一0,y一0时有一后,则有一kf.)(4)二,应用导数定义求极限应用导数定义推论1和推论2可以很方便地求解一些特殊类型的极限例1:设)在=.处可导,求limnil(

7、xO+)一f(.一音)][错解]zm.+)一f(一)]n—+∞凡凡m圭令,.f(xo+2t)一f(xo—t)=‘tm—l—加f,.f(xo+2t)?2一f.一t)?(一1)“t---d}———————r————一l:3f(Xo)其中t一0z’:o+2￡一.一一(o)t,:.一t_o_-’_厂(0)[分析]上面解法有三处错误:其一本题是数列极限(变量变化过程不连续)不能直接用罗必达法则;其二在①处要求)在.的邻域内可导,而题目仅给出了在点.处可导的条件,因此不能用罗必达法则;其三在②处利用了一阶导数f)

8、在.处的连续性,题目条件中也未给出.[正解]由定义式(2),’1z,n[o+)一f(.一—一)]mf(x二f(x!二圭令o+三)一0一.:————广—令÷:2:3f(.)或直接应用推论l的(3)式求解一(一)?.?旦——一3‘1/1,?‘一limn.+)一f(.一音)]:3f4-.)n一凡凡例2计算z呈__二—tan[分析]直接用罗必达法则求解较繁,若直接应用推论2的(4)式求解则很方便.[解答]设f(x):e则fO):1由(4)式原式:z:咖f<