武汉大学2006年数学分析考研试题

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1、武汉大学2006年数学分析考研试题一、已知：，求常数二、已知：，求其收敛域。三、在上可导，且，求证：，使得。四、已知在上可导，。求证：。五、已知在上单调递增，，求证：，使得六、在过的曲线中，求出使得的值最小的。七、求第二型曲面积分，为椭圆的外侧八、求证在上一致收敛。九、已知方程(1)研究上述方程并说明它在什么时候可以在点附近确定函数，且。(2)研究函数在点附近的可微性。(3)研究函数在点附近的单调性。(4)试问上述方程在点的充分小邻域内可否确定函数？并说明理由。武汉大学2006年数学分析考研试题解答一．解由

2、，知，，，所以，.二．解设，显然当时，收敛，当时，，当时，，此时，绝对收敛；当时，，此时，绝对收敛；当时，，此时，发散，所以级数的收敛域为，，，或者，故收敛域为.三．证明设，则有，，，由拉格朗日中值定理，存在，使得，，即知有，.四、假设在上可导，且，试证明，.证明令,,因，所以,令，则,即得,所以，则,,于是，.五．证明有题设条件，对，有，若，则取，即得结论.若，则存在（充分小），当时，有，令，则是非空有界集，设，则有，，若，则有，，若，我们断言，假若，则存在，使得时，有，于是，这与矛盾，所以，综合以上，结

3、论得证.六．解，，时，，当时，，在上严格递减，当时，，在上严格递增，所以在处达到最小值.七．解取充分小，，由高斯公式，得.六．证明设，，显然，对每一个，关于单调递减，，关于一致的有，由狄利克雷判别法，知关于是一致收敛的，即得在上一致收敛.七．解设，显然，有，，，由隐函数存在定理，存在，存在上的连续可微的函数，，满足，，，，当，（充分小）时，有，在上严格单调递减；当时，有，在上严格单调递增，（4），由于每一充分接近的，，存在，，使得，，所以上述方程在点的充分小邻域内，不能确定函数，.对，方程无解.