2018版高中数学人教b版必修二学案2.3.3　直线与圆的位置关系

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1、2.3.3　直线与圆的位置关系[学习目标]　1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.[知识链接]1.直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0).2.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)3.点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.[预习导引]1.直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝dr代数法：

2、由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0图形2.圆的切线方程(1)经过圆x2＋y2＝r2上的点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上的点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.要点一　直线与圆的位置关系的判断例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线6(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点.解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得

3、，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－时

4、，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2时，即－

5、3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.要点二　圆的切线问题例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.6解　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).即kx－y－3－4k＝0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即

6、k＋4

7、＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4

8、)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.规律方法　1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系.若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况；若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k

9、2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不已知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式.跟踪演练2　求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.解　由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.要点三　圆的弦长问题例3　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.解　方法一　由得交点A(1,3)，B(2,

10、0)，∴弦AB的长为

11、AB

12、＝＝.6方法二　由消去y得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.∴

13、AB

14、＝＝＝＝＝