浅谈坐标方法在中学数学解题中的应用

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浅谈坐标方法在中学数学解题中的应用杨龙珠(合肥市瑶海区合肥少儿艺术学校yanglongzhu2012@163.com)摘要:本文首先介绍了坐标法的概念和学习坐标法的意义,接着给出用坐标法解题的一般步骤以及在解题中经常会用到的一些公式,然后介绍了数形结合思想与坐标法的关系,最后用一些典型例题列举了坐标法在中学数学解题中的应用.关键词:坐标法；数形结合；向量法引言目前,中学数学教学的首要任务是培养学生的想象能力和逻辑思维能力.本文对坐标方法做了系统阐述,全文有五个章节,前两节介绍了坐标法的基本知识,接着第三章介绍了坐标法与数形结合这一数学思想的关系,第四、五两章例举了中学数学中常见的涉及运用坐标法解答的题目.本文的一大特色就是这些例题都是近几年的各地高考真题或模拟题,比较具有时效性、应用性,对中学生应用坐标法解决问题具有实际意义.一、坐标法的概念及学习坐标法的意义1、坐标法的概念坐标法又名解析法,是一种通过建立适当的坐标系（平面或空间坐标系).把几何问题代数化或用代数方法解决几何问题的数学方法.2、学习坐标法的意义坐标法是解析几何中最基本的方法,在中学数学中的应用很广泛,其重要性是不言而喻的.坐标法是通过建立适当的坐标系,把几何问题转化为代数问题,或把代数问题映射成几何问题,然后通过代数运算获得相应的代数结果,最后再次通过坐标系转化为几何的结论.中学数学中有很多代数问题都可以应用坐标法解决,使有些代数方法难以解决甚至无法解决的问题得到解决,使有些代数解法复杂的题目简单化,直观化.中学数学中能用坐标法解答的问题很多,技巧性比较强,这也要求学生能较好地掌握坐标方法,能灵活的运用坐标法解题. 本课题通过对坐标法在中学数学各类题型中的应用研究,对于中学生运用坐标法,提高学生的思维能力,分析能力,解题能力都有很大的意义.二、坐标法解题的一般步骤以及用坐标法解题常涉及到的公式1、坐标法解题的一般步骤（1）根据图形及题意建立适当的坐标系,将图形中的点或线转化为坐标或方程,或问题中的坐标或方程映射到图形中的点或线.（2）通过代数运算,解决代数问题.（3）分析代数结果,得出问题结论.2、用坐标法解题常涉及到的公式（1）平面内任意两点的距离=,如图1所示,可以过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,两垂线相交于点则,=,=,由勾股定理可知=,两点之间的距离公式是坐标平面内刻画几何图形性质的重要工具,并且为之后学习平面解析几何奠定基础.图1图2（2）过的直线(该直线不与轴平行)的斜率为:（3）判定直线互相垂直的条件为:（4）判定两直线平行,平行的条件为: （5）判定两直线垂直,垂直的条件为:三、坐标法与数形结合思想数形结合思想是中学数学解题过程中的一种经常用到的思想方法，而且应用十分广泛，它是依照数和形之间的一种对应，通过数和形之间的相互转化来处理数学题目的一种思想.如何对数与形进行有效的转化,坐标方法是实现这一转化的有效工具,坐标方法可以使一些看起来让我们无从下手的问题就会迎刃而解,产生意想不到的效果.在本文中大部分的例题都会涉及数形结合思想,此节就不对数形结合思想展开论述.四、用坐标法解几何问题1、用坐标法解平面几何问题用坐标法解决平面几何问题的关键是把平面中的点和方程分别用坐标和方程来表示，然后根据相应的公式进行相应的计算。引入向量的概念,并对向量的代数运算做出定义后,一些几何性质就可以用代数运算来表示,例如两直线垂直可以表示为相应向量的数量积为零.向量和坐标是研究解析几何的基本工具,向量法和坐标法是研究解析几何的重要方法.向量的数量积问题在高考中的常见的题型有以下几种,每种类型后面都对应相应的例题对此进行阐述.①平行和垂直问题例4.1(泰安，模拟）已知平面向量，且∥，则().．．．．解析：用坐标表示两向量平行可以表示为内积与外积相等.因为∥,所以,即，.例4.2已知，，则(). 解析:用坐标表示两向量垂直可以表示为两向量的数量积零.首先要用坐标表示出,这两个向量.，因为,所以,即得.解得,故选.②求模问题及求向量例4.2（浙江，宁波模拟）若平面向量,和互相平行，其中.则().．或．．或．或解析：向量的求模公式为（）,由∥，得或,则此题有两种情况.当,即＝时,＝；当，即＝时，＝.综上，知＝或.③求夹角和数量积例4.3现有一单位向量,且与向量=,的夹角相等,则该向量为（）.．．或．．或解析：因为该向量的模为1,由求模公式和,我们可以设为所求向量,因为该向量与的夹角都相等,故经验算可知选项符合要求,故选． 2、用坐标法解决立体几何问题用综合解法解立体几何问题往往会比较复杂,对学生的空间想象能力的要求比较高,若能将坐标法与向量法相结合,将会降低难度,易得正解.当所给几何图形中具有三条“两两垂直”直线或出现“墙角”的情况时我们就优先选用坐标法.我们可以把立体几何问题大体分成两类：一类是空间线、面的位置关系的证明;另一类是空间角与距离的计算.（1）用坐标法解决空间线、面位置关系的思想方法及应用①两直线平行与垂直的判定判定两直线的位置关系,首先要建立适当的坐标系,根据题意写出两直线的方向向量的坐标,判定两直线的方向向量的平行与垂直,从而判定两直线平行与垂直.例4.4如图3,在四棱锥中底面是正方形,底面,,点、分别是、的中点.证明：图3图4解析：很显然,图3中的是互相垂直的.此题是证明两直线垂直,值得注意的是两直线垂直数量积为零在三维空间中依然成立.如图4建立空间直角坐标系，,由故设,则，，,,,因为点、分别是、的中点所以,,所以,,因为,故,得证.②直线与平面平行或垂直的判定 建立空间直角坐标系,判定直线平面的关系,可以通过判定该直线与平面内直线的关系.直线与平面垂直只需判定直线与平面内一条直线的关系,直线与平面垂直,需判定该直线与平面内两条不相交直线的位置关系.另外此类问题也可等价为该直线的方向向量与平面的法向量的平行（或垂直），即转化为（1）的情况.例4.5如图5,正四棱柱中,,点在上且．证明：平面.图5图6证明：如图6,以为坐标原点,分别以所在的直线建立空间直角坐标系则,.因为,,．又,所以平面③平面与平面平行(垂直)的判定建立空间直角坐标系,平面与平面平行（垂直）可以转化为两平面法向量的平行(垂直)来判定,再可以转化为（2）的情况,此外,平面与平面的平行也可用共面向量定理证得.例4.6(2012·湖南模拟)已知平面,平面,为边长为的等边三角形,且,为的中点．(2)求证：平面平面. 图7图8证明：如图8所示以为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴,建立空间直角坐标系，则,，，,,∵为的中点,∴.∵＝,＝,＝,∴·＝,·＝,∴,即.又平面.又//平面，平面⊥平面.（2）用坐标法计算空间角与距离的思想方法及应用①两异面直线所成的角的求法首先找出空间中互相垂直的三条直线（没有的可以添加辅助线），然后写出这两条异面直线的方向向量,根据公式求出这两个方向向量的夹角，最后就可以确定这两条异面直线所成的角.例4.7（2013，江苏高考22）如图9，在直三棱柱中，,,,点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值 图9图10解析：（1）如图10所示建立空间直角坐标系，则,,,,,，∴,,∴∴异面直线与所成角的余弦值为.②斜线与平面所成的角的求法斜线与平面所成的角可以通过求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角来解答.例4.8（山东,烟台模拟）四边形为矩形,,,平面,,则与平面所成角是(　　)．()()．()．()图11图12解析:　如图11，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则,，＝因为平面,所以是平面的一法向量,所以，所以〈，〉＝º, 所以直线与平面的法向量所在直线所成角为°,所以直线与平面所成角为°.③二面角大小的求法我们可以通过求两个平面的法向量的夹角来求这两个平面所成的二面角的大小.此外,也可转化为两条异面直线所成的角,或根据两异面直线间的距离公式求解.例4.9（2013，江苏高考22）（2））求平面与所成二面角的正弦值.证明：如图10,因为是平面的的一个法向量设平面的法向量为,∵,由∴取，得,∴平面的法向量为设平面与所成二面角为∴,得∴平面与所成二面角的正弦值为.④点到直线的距离根据共线向量定理及垂直关系确定垂足,求出点到垂足的距离即为点到直线的距离.此种题型用传统几何解法较多.⑤点到平面的距离求空间距离一般转化为点面距离,用坐标方法求点面距离的一般步骤为:首先确定平面的一个法向量,点A是平面内的任意一点,点P到平面的距离就是在平面的法向量方向上投影的绝对值.此外此种题型运用体积转化法也很巧妙. 例4.10（2013，江苏高考22）（2））求平面与所成二面角的正弦值.证明：如图10,因为是平面的的一个法向量设平面的法向量为,∵,由∴取，得,∴平面的法向量为设平面与所成二面角为∴,得∴平面与所成二面角的正弦值为.④点到直线的距离根据共线向量定理及垂直关系确定垂足,求出点到垂足的距离即为点到直线的距离.此种题型用传统几何解法较多.⑤点到平面的距离求空间距离一般转化为点面距离,用坐标方法求点面距离的一般步骤为:首先确定平面的一个法向量,点A是平面内的任意一点,点P到平面的距离就是在平面的法向量方向上投影的绝对值.此外此种题型运用体积转化法也很巧妙.例4.11平面的一个法向量，内有一点，求点到平面的距离为(　　)..解析:＝，∴到平面的距离 ＝.五、坐标法解决代数问题1、用坐标法解决代数问题用坐标法解决代数问题，首先要观察数、式、方程的结构，在坐标平面内找出其所表示的几何意义,然后构造出图形，最后利用图形的几何性质和解析几何知识，使问题得到解决,本节介绍了几种常见题型的解法.题型一：坐标法在函数、方程、不等式中的应用举例.例5.1如果关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围.MOAO3-1图13图14解析：其图像与轴交点大的横坐标就是方程的解,要使二根都在之间,只需,题型二：坐标法在圆中的应用举例例5.2若实数满足方程,则的最大值为().解析：解答此题首先观察等式，很明显它可以表示一个圆，一个以圆心,为半径的动圆（如图14）,表示圆上一动点，则可以表示此圆上的动点与原点 所在直线的斜率,这个代数问题即几何问题，即求直线的最大值,由图14可知,斜率最大时是与圆相切,从而得出.题型三：坐标法在线性规划问题中的应用举例例5.3现有一工厂制造两种红酒和.已知两种红酒中都含有I和II两种成分,制造一瓶需要的I原料,的II原料；制造一瓶需要的I原料，的II原料零件.每瓶红酒的利润是元，每瓶红酒的利润是元.工厂在计划制造这两种红酒时，要求每天使用I、II原料都不能超过通过对生产计划的合理规划,工厂一天可获得的最大利润是().、元元元元解析：设工厂生产红酒瓶/天，红酒瓶/天，工厂每天可获得的利润为元，则由题意可得,的终边126O612图15图16且画可行域如图15所示,目标函数可变形为,这是随变化的一族平行直线解方程组即(元）. 2、用坐标法解决三角函数问题（1）用坐标法解决三角函数问题的思想在中学数学解题中，一般遇到同角三角函数问题，直接利用三角函数的基本关系式求解的话，不是过程复杂就是要分类讨论，如果我们能结合任意角的三角函数定义，则可以使问题简化.=,=,=,=,如图16,以角的顶点作为坐标原点,以角的始边作为轴的正半轴,过且垂直于轴的直线为建立直角坐标系,设是角终边上任意一点,,则=,=.（2）坐标法在三角函数中的应用举例坐标法在三角函数中的应用,本文选择了两种比较有代表性的例题说明,一个是三角函数的化简,另一个是通过坐标画三角函数图形解决相应的问题.例5.4已知函数=,的图像与平行于轴的直线有两个不同的交点,求的取值范围.解析：分段表示,数形结合求出的取值范围.函数在的图像知，.012345670.511.522.53 参考文献：[1]任志鸿.高考专题复习[M].知识出版社,2013[2]韩树红.例析坐标法的应用[J].初中数学教与学,2012[3]曾凌云,张华芳.例析坐标法解决与向量有关的问题[J].数学通讯，2011年第7、8期[4]索云旺,廖爽,田丽等.领悟坐标法的数学本质,解答高考解析几何试题[J].中小学数学(高中版),2010年09期[5]袁保金.活用坐标法,妙解数学题[J].河北理科教学研究，2010[6]郑平.对向量法与坐标法的一些认识[J].中国科技信息2009[7]张巧凤.从高考三角形问题谈“坐标法”的妙用[J].新高考(高一版),2009年03期年第15期[8]俞荣乐.空间向量在立体几何中的应用[J].读与写杂志,2009年第9卷第7期.[9]田化澜.解析几何的核心——坐标法[J].数学通讯,2008年05期[10]巩子坤,王勤晓.向量法与坐标法的统一性[J].枣庄学院学报,2007年10月第25卷第10期.[11]王政.高中数学点拨[M].学苑出版社,2006．[12]昌明.例说用坐标法解立体几何问题[J].中学数学,2006年06期[13]巩子坤.解析几何[M].重庆师范大学出版社,2004[14]廖华奎,王宝富.解析几何教程[M].北京科学出版社,2002.