数学物理方法大作业

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1、基于分离变量法的波导中的电磁波研究1　空间当中的电磁波在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为(1)为了便于求解，通常将（1）式化为(2)必须指出的是，（2）式中第一式E的三个分量，，虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件　。求解方程（1），即为求解(3)(3)式在给定的边界条件下，可以

2、求得定解.对于定态电磁波，场量可以表示为(4)考虑(4)式，(3)式可表示如下：(5)设电磁波为时谐波，并考虑到关系，由（5）式可得到三个分量的6个标量方程：(6)　　　　　　　　　　　　　　　(7)　　　　　　　　　　　　　　(8)　　　　　　　　　　　　　　　(9)　　　　　　　　　　　　　　　　(10)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11)以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量用两个纵向场分量来表示，即：(12)　　　　　　　　　　　　　　　(13)　　　　　　　　　　　　　(14)　

3、　　　　　　　　　　　　　(15)式中波的纵向场分量与横向场分量关系为：　　　　　　　　　　(12*)　　　　　　　(13*)　　　　　　　　(14*)　　　　　　　　　　　　(15*)波的纵向场分量与横向场分量关系为：　　　　　　　　　　　　　　　　　(12+)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（13+）　　　　　　　　　　　　　（14+）　　　　　　　　　　　（15+）　　2波导内的电磁场2.1波导的几个假设这里所讨论的波导,有以下假设:波导的横截面沿方向是均匀的,即波导内的电场与磁场只与坐标

4、有关,与无关;构成波导壁的导体是理想导体,即;波导内的介质各向同性,并且;波导内的电磁场为时谐场,角频率为。2.2矩形波导中的电磁波现在我们求解矩形波导中的电磁波解。选一直角坐标系，如图１所示。取波导内壁面为和，和；轴沿电磁波传播方向。在一定频率下，管内电磁波是方程（5）的解。次解在管壁上还满足边界条件，即电磁场在管壁上的切向分量为零。由于电磁波沿z轴方向传播，它应有传播因子。因此，我们把电场E取为E(x,y,z)=E(x,y).　　　　　　(16)将（16）代入（5）式得(17)用直角坐标分离变量，设

5、为电磁场的任一直角分量，它满足方程(17)。设(18)从而方程（17）可以分解为两个方程(19)(20)(21)求解方程（19）式和方程（20），得的特解(22)其中，，，，为任意实数，当具体表示E某特定分量时，考虑边界条件及，可以得到对这些常数的一些限制条件。2.2.1矩形波导波矩形波导的横截面如图1所示，波导内传播波时，有。波导内的电磁场由确定。在给定波导管中，满足下面的波动方程和边界条件：　　　　　　　　　(23)　　　　　　　　　　　　　　　(24)　　　　　　　　　　　　　(25)由均匀波导中

6、，设(26)将（26）式代入方程（23）中，得(27)其中为截止波数。用分离变量法求解。其解为：（28）将式（28）代入方程（27）中，然后方程两边除以，于是方程可分裂为两个常微分方程（29）(30)且方程（29）的通解为，并考虑边界条件（24）得其中故（31）同理，得方程（30）的通解为：考虑边界条件式（25)得其中故所以，得到矩形波导中波的纵向场分量(32)式中，由激励场源强度决定。由式　　　　　　得截止波数（33）利用式（12*）～（15*）可求得波的其它横向场分量（34）（35）（36）（37）

7、2.2.2　　矩形波导波对于波，因为波在传播方向上。故由式(12+)～(15+)可得波的纵向场分量与横向场分量关系为：　　　　　　　　　　　　(38)　　　　　　　　　（39）　　　　　　　　　　（40）　　　　　　（41）故波导内的电磁场由分量确定，在给定的矩形波导中，满足下面的波动方程和边界条件：　　　　　　　　　　　　（42）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（43）　　　　　　　　　　　　　　　（44）用分离变量法求解，可以得到波的纵向场分量　　　　　　　　（45）式中由激励场源决定。将式（4

8、5）代入式（38）～（41）中，得：　　　　　　　　（46）　　　　　　　　（47）　　　　　　　　　（48）　　　　　　　　（49）下面以TE10模为例研究其分布其场分量为由matlab作图程序如下，取a=5cm，b=3cm，令z为1cmw=10^11;u=4*pi*10^(-7);a=.05;b=.03;e=10^7/(4*pi*9*10^16);kz=sqrt(w^2*u*e-(pi/a)^2);x=(0:0.001:0.05);y=