数学物理方法作业

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1、稳定场问题求解中格林函数法的应用目录0引言...................................................................................................................................21格林函数法求解稳定场问题...........................................................................................32泊松方程的格林函数.........................

2、..............................................................................43镜像法求格林函数...........................................................................................................54格林函数的对称性........................................................................................

3、.................115求解泊松方程的第一类边值问题.................................................................................126用正交函数组展开格林函数.........................................................................................141稳定场问题求解中格林函数法的应用0引言格林函数,又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数在电磁场理论中有着非常广泛的应用，

4、如在求解静电场问题时，往往会涉及到求解感应电荷的问题，而一般来说感应电荷的量值是不易求得的，特别是对不规则形状的导体通过应用格林函数的倒易性来求解某些接地导体上感应电荷，能比较简便地解决这个问题。本文就在格林函数求解稳定场问题方面加以讨论。2稳定场问题求解中格林函数法的应用1格林函数法求解稳定场问题从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：热力学方程.：2u22aufrt,2t表示温度场u与热源frt,之间关系泊松方程.：2ufr0表示静电场u与电荷分布fr之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或

5、线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：'r'dV4rr0这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入格林函数s的概念。格林函数：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论格林函数.下面，我们

6、先给出格林函数s的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的格林函数s。3稳定场问题求解中格林函数法的应用2泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：21urfr0ururrns这里讨论的是静电场ur，r代表自由电荷密度。f'格林函数Grr,：位于r的单位正电荷在r处所激发的满足齐次边界条件的电势。三维格林函数定解问题为：231Grr

7、,rr0①Grr,Gr0nS3这里rr表述了单位正电荷的体密度。注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。这是因为，虽然方程说明V内有单位正电荷存在，而边界条件Grr,说明0nSGrr,点源产生的场在边界S上电场的法向分量E处处为零，说明边界条nn件与方程不相容。另外，可以对方程作积分21Grrdv,r