二元一次方程组特殊解法

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1、黄冈教育@张家界教育中心内部使用二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。2、灵活消元（1）整体代入法5.解方程组解：原方程组可变形为继续变形为<2>代入<1>得：解得：方程组的解为（2）先消常数法例6.解方程组解：<1>×5－<2>得：<3>代入<1>得：把代入<3>得：所以原方程组的

2、解为（3）设参代入法例7.解方程组6黄冈教育@张家界教育中心内部使用解：由<2>得：设，则把<3>代入<1>得：解得：把代入<3>，得：所以原方程组的解是（4）换元法例8.解方程组解：设，则原方程组可变形为，解得所以解这个方程组，得：所以原方程组的解是（5）简化系数法例9.解方程组解：<1>＋<2>得：所以<1>－<2>得：6黄冈教育@张家界教育中心内部使用由<3>、<4>得：解三元一次方程组的消元技巧解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多

3、同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数例1．解方程组分析：方程组中含的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数.解：①+②×2，得，④②×3-③，得，⑤解由④、⑤组成的方程组，得，⑥把⑥代入①，得，所以原方程组的解是.二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.例2．解方程组分析：因为方程①中缺少未知数项，故而可由②、③先消去，再求解.解：②×3+③

4、，得，④解由①、④组成的方程组，得，⑤把⑤代入②，得，6黄冈教育@张家界教育中心内部使用所以原方程组的解为.三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.例3．解方程组分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数、的项，而都含有未知数的项，从而可用含的代数式分别表示、，再代入②就可以直接消去、了.解：由③，得，④把①、④代入②，得，⑤把⑤代入①，得，⑥把⑤代入③，得，所以原方程组的解是.四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元1．整体代入法即将原方程组中的一个方程（或

5、经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.例4．解方程组分析：注意到①中的，这就与②有了联系，因此，①可化为，把②整体代入该方程中，可求出的值，从而易得与的值.解：由①，得，④把②整体代入④，得，把代入①、③，得.⑤6黄冈教育@张家界教育中心内部使用解⑤，得.所以原方程组的解是.2．整体加减法例5．解方程组分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.解：①+②+③，得，④再由④分别减去①、②、③各式，分别得，，.所以原方程组的解是.3．整体改造例6．解方程组分析：按常规方

6、法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：中含、项的系数是①中对应系数的4倍；③中含、项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解.解：由②、③，得再将①代入④、⑤，得，.把、的值代入，得.所以原方程组的解为.4．参数法例7．解方程组6黄冈教育@张家界教育中心内部使用分析：由于，所以可设，则得，，.③③代入②可得，代入③易求、、.解：设，则得，，.③③代入②，得，代入③，得.评注：这里的被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数、、的直接变换消元，从而大大减少了运算量.6