2010全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案

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1、全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案（2010年5月9日上午8：30---11：00）考生注意：本试卷共五道大题，满分100分．一、填空题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算：设则集合的元素的和为个.解：填8.集合的元素为2.设则的取值范围是　　.解：填若则；若则；若则，综上，有3.某一次函数图像与直线平行，与轴、轴的交点分别为、，并且过点(-1,-25)，则在线段上(包括)，横纵坐标都是整数的点有个.设由条件过点(-1,-25)，得所以则（19,0）、(0,),由,取时,y是整数,所以,满足条件的点有5

2、个.4.已知函数满足对所有的实数,都有则　　　　．解:填0.令得第7页共7页所以5.如图，已知P为双曲线上的任一点，过点P作轴于点C，轴于点D,则四边形面积的最小值为　　　.解：填16.设点的坐标为，则有，.则，由条件知：故有所以四边形面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为　　　　　．解:填.设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则7.若抛物线与x轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为　　.解：填设抛物线与x轴交与整点（，0），（，0），，则方程有两个整数根得取代入得所以所以则抛物线的对称轴方程为

3、8.已知实数满足，且，则的最大值与最小值的积为　　.第7页共7页解：填1.设则有化简得9.用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,为圆心,且;第二个转盘为矩形,为矩形的中心,且.若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向的概率为　　　.解：填.指针同时指向的概率为10.设在同一平面上两个非零的不共线向量满足，对任意的则的取值范围为　.(用向量表示)解：填.设表示与共线的任一向量,表示点A到直线OB上任一点的距离,而表示点A到点B距离，当时，由点与直线之间距离最短知，对任意的有.二、（本题满分12分）如图,在中,已知为内角平分线,以为弦作一个圆与相切,且与分

4、别交与,求的长.解：如图,连结由得则…………………4分第7页共7页易知又所以…………………12分三、（本题满分13分）如图，两个平面线段分别交平面于点,过点的另一条直线分别交平面于点,过点的另一条直线分别交平面于点,已知为的面积,且求的最小值.解：因为平面所以且又结合得…………………5分令则且…………………8分所以的最小值为…………13分第7页共7页四、（本题满分12分）（以下两题请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题给分）(必修4)已知向量又函数是以为最小正周期的周期函数.若函数的最大值为，则是否存在实数t,使得函数的图像能由函数的图像经过平移得到？若能

5、，则求出实数t并写一个平移向量；若不能，说明理由.解:=sinωxcosωx-kcosωx=sin2ωx-k(1+cos2ωx)=sin2ωx-kcos2ωx-k=sin(2ωx+θ)-k,又函数是以为最小正周期的周期函数，∴T==,∴ω=2.…………………4分∴=sin(4x+)-k,∵函数的最大值为，∴-k+=，解得k=1,…………………8分∴=sin(4x-)-k=,又=tsinωxcosωx==tsin4x,∴当时，函数的图像按向量平移后便得到函数的图像.……………………12分第7页共7页(必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个

6、，红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分；在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1)甲、乙成平局的概率;(2)如果可以选择先后取球的顺序，你会先取还是后取，为什么？解：记黑球为1，2号；白球为3，4号；红球为5，6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.……………

7、………4分(1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分，所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一红，共有8种情况.故平局的概率为…………………………8分(2)甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的3个小球只能是2红1白，1红2白，或2红1黑，共有6种情况.甲（先取者）获胜的概率为.所以乙（后取者）获胜的概率为因为，所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、（本题满分13分）设二次函数与x轴有交点.若对一切,有且求的值.解:第7页共7页所以,对于一切满足的实数有……………3分则的实数根在区间[-2,2]内,所以,二次函数在区间上是增函数,且……………8分又,

8、所以即所以