2016全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案

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1、全国高中数学联赛河南省预赛高一竞赛试题参考答案(2010年5月9日上午8:30---11:00)考生注意:本试卷共五道大题,满分100分.一、填空题:本题共10个小题,每小题5分,共50分.直接把答案填在题中的横线上.1.定义集合运算:设则集合的元素的和为个.解:填8.集合的元素为2.设则的取值范围是  .解:填若则;若则;若则,综上,有3.某一次函数图像与直线平行,与轴、轴的交点分别为、,并且过点(-1,-25),则在线段上(包括),横纵坐标都是整数的点有个.设由条件过点(-1,-25),得所以则

2、(19,0)、(0,),由,取时,y是整数,所以,满足条件的点有5个.4.已知函数满足对所有的实数,都有则    .解:填0.令得第18页共18页所以5.如图,已知P为双曲线上的任一点,过点P作轴于点C,轴于点D,则四边形面积的最小值为   .解:填16.设点的坐标为,则有,.则,由条件知:故有所以四边形面积的最小值是16.6.已知一个正三棱柱的底面边长为1,两个侧面的异面对角线互相垂直.该正三棱柱的侧棱长为     .解:填.设三棱柱侧棱长为侧面的异面对角线互相垂直,则7.若抛物线与x轴交于整点,

3、则抛物线的对称轴方程为  .解:填设抛物线与x轴交与整点(,0),(,0),,则方程有两个整数根得取代入得所以所以则抛物线的对称轴方程为8.已知实数满足,且,则的最大值与最小值的积为  .第18页共18页解:填1.设则有化简得9.用如图所示的两个转盘做游戏,第一个转盘为圆形,为圆心,且;第二个转盘为矩形,为矩形的中心,且.若同时转动两个转盘,则转盘停止后指针同时指向的概率为   .解:填.指针同时指向的概率为10.设在同一平面上两个非零的不共线向量满足,对任意的则的取值范围为 .(用向量表示)解:填

4、.设表示与共线的任一向量,表示点A到直线OB上任一点的距离,而表示点A到点B距离,当时,由点与直线之间距离最短知,对任意的有.二、(本题满分12分)如图,在中,已知为内角平分线,以为弦作一个圆与相切,且与分别交与,求的长.解:如图,连结由得则…………………4分第18页共18页易知又所以…………………12分三、(本题满分13分)如图,两个平面线段分别交平面于点,过点的另一条直线分别交平面于点,过点的另一条直线分别交平面于点,已知为的面积,且求的最小值.解:因为平面所以且又结合得…………………5分令则且

5、…………………8分所以的最小值为…………13分第18页共18页四、(本题满分12分)(以下两题请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题给分)(必修4)已知向量又函数是以为最小正周期的周期函数.若函数的最大值为,则是否存在实数t,使得函数的图像能由函数的图像经过平移得到?若能,则求出实数t并写一个平移向量;若不能,说明理由.解:=sinωxcosωx-kcosωx=sin2ωx-k(1+cos2ωx)=sin2ωx-kcos2ωx-k=sin(2ωx+θ)-k,又函数是以为最小正周期的周期函数,

6、∴T==,∴ω=2.…………………4分∴=sin(4x+)-k,∵函数的最大值为,∴-k+=,解得k=1,…………………8分∴=sin(4x-)-k=,又=tsinωxcosωx==tsin4x,∴当时,函数的图像按向量平移后便得到函数的图像.……………………12分第18页共18页(必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个,白球2个,红球2个,规定取出一个黑球记0分,取出一个白球记1分,取出一个红球记2分;在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色.首先由甲取出3个球,并不再将它们放回

7、原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.求:(1)甲、乙成平局的概率;(2)如果可以选择先后取球的顺序,你会先取还是后取,为什么?解:记黑球为1,2号;白球为3,4号;红球为5,6号.则甲取球的所有可能性共有下列20种情况:123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456.……………………4分(1)平局时甲、乙两人的得分均应该为3分,所以甲取出的三个小球必须为一黑一白一

8、红,共有8种情况.故平局的概率为…………………………8分(2)甲获胜时,得分只能是4分或5分,即取出的3个小球只能是2红1白,1红2白,或2红1黑,共有6种情况.甲(先取者)获胜的概率为.所以乙(后取者)获胜的概率为因为,所以先取后取获胜的可能性是一样的.………………12分五、(本题满分13分)设二次函数与x轴有交点.若对一切,有且求的值.解:第18页共18页所以,对于一切满足的实数有……………3分则的实数根在区间[-2,2]内,所以,二次函数在区间上是增函数,且……

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