流体有限元-抛物型方程

《流体有限元-抛物型方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§6非定常流的有限元方法考虑一个阶的抛物型微分方程定解问题（初边值问题）：求，，满足（6.1）式中仍是一个阶椭圆型空间微分算子。根据§3中的分析，只需考虑齐次强制边界条件。我们还是像§3那样，将它改写成积分形式（变分方程）。首先，任取函数，用它乘以方程的两边，并在上积分，得上式除了左边第一项之外，其余两项仍可以按照§3中的步骤改写成某个Sobolev空间上的变分方程，原有的第一项，可将时间导数写到空间积分外面，即并推广到可积函数空间（广义的，指Lebesgue可积）上。还有，定解条件中的初始条件也要写成积分形式这些加在一起，就得到非定

2、常问题的变分方程：求，满足，（6.2）这里，空间内积表示积分，和仍是空间上的双线性泛函和线性泛函，初值泛函。例：热传导方程初边值问题即其变分方程为：求，，，满足，方程中，，半离散化有限元近似半离散化就是只对空间区域进行离散化（有限元剖分），时间自变量不进行离散。下面按照古典变分方法的框架来介绍半离散化方法。在空间中选取一组线性无关的元素，，，作为基函数，用它们张成一个有限维（维）子空间这个子空间中的元素都可以（用它的整体自由度）写成而现在的有限元近似和精确解一样，还是时间自变量的函数，所以它应该表示成式中的整体自由度，（）。记子空间则

3、有限元近似变分方程为：求，满足，（6.3）这就是非定常问题变分方程（6.2）的半离散化Galerkin近似。将、和的表达式代入上述变分方程，得定义总刚矩阵质量矩阵和向量，，则上述方程组可写成由于是任意的，所以向量也是任意的，从而导出了常微分方程初值问题或写成（6.4）半离散化处理，时间自变量没有进行离散。但是到了这里，为了求解常微分方程初值问题（6.4），需要使用像Runge-Kutta方法这类的数值算法。这个时候，时间自变量还是要离散化的。全离散化有限元近似全离散化，就是在空间离散化的同时也对时间自变量进行离散。为此，取时间步长，令

4、，（），并记，向量。这样一来，初值问题（6.3）和（6.4）中的时间导数就可以像差分法中一样，用差分进行近似，换句话说，全离散化就是空间区域用有限元近似，时间用差分近似。变分方程：对，已知，求，满足（6.5）这就是非定常问题变分方程（6.2）的全离散化Galerkin近似。其中，参数。相应的矩阵形式为（6.6）当时，（6.5）式和（6.6）式成为，（6.7）（6.8）从中可直接解出（6.9）因而称作显式格式。称为隐式格式。其中最常用的是Ø完全隐式格式（）：变分方程，（6.10）矩阵形式（6.11）即（6.12）Ø平均隐式格式（）：变分

5、方程（6.13）矩阵形式（6.14）（6.15）实际计算中并非将逆矩阵计算出来，而是通过求解方程组来进行计算。Ø显式格式：（6.16）此时，显式格式已经失去了不用求解代数方程组的优势。Ø完全隐式格式：（6.17）Ø平均隐式格式：（6.18）另一种处理方法是用一个易于求逆的矩阵（如对角矩阵）代替质量矩阵进行计算，这种方法在文献中称作质量集中法。误差估计1）半离散化有限元近似设单元的代数精度为，整体光滑度为，整个剖分中，单元的最大尺度为。子空间。又设是变分方程（6.2）的解，并且，而是其半离散化Galerkin近似，即（6.3）的解。则，

6、有2）全离散化有限元近似-完全隐式格式设单元的代数精度为，整体光滑度为，整个剖分中，单元的最大尺度为。子空间。又设是变分方程（6.2）的解，并且，而是其全离散化Galerkin近似（完全隐式格式），即（6.10）的解。则对，有3）全离散化有限元近似-平均隐式格式设单元的代数精度为，整体光滑度为，整个剖分中，单元的最大尺度为。子空间。是变分方程（6.2）的解，并且，而是其全离散化Galerkin近似（平均隐式格式），即（6.13）的解。则对，有