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1、广义逆矩阵与测量平差陶本藻(武汉测绘科技大学,湖北武汉430079)摘要:在介绍带权广义逆基础上,分析和推导了间接平差、条件平差、附有条件的间接平差、附有参数的条件平差、秩亏自由网平差和最小二乘配置等计算公式。关键词:广义逆;测量平差;无限权;零权中图分类号:P207文献标识码:A文章编号:1006—7949(2000)04—0010—04GeneralizedMatrixInversesandAdjustmentofObservationsTAOBen-zao(WuhanTechnicalUniversityofSurveyingandMapping,Wuhan430079,Chin
2、a)Abstract:Inthispapervariousapproachestotheadjustmentofobservationsonthebasisofthetheoryofgeneralizedinversrewithweightedareanalyzed.Theadjustmentformulasofele-ments,conditions,elementswithcondition,conditionswithparameter,freenetwroksandcoll-cationetc.,arederived.Keywords:Generalizedinverses;A
3、djustmentofobservations;Infiniteweights;Zeroweights线性模型的测量平差法,其实质是顾及测量的随机模型,按一定的准则求出观测方程中参数的最优解。平差公式的数学推导长期采用纯量代数,后改用矩阵代数,简化了繁琐的冗长推导,突出了概念思路,秩亏自由网平差的出现,引进了广义逆矩阵运算,使公式推导更为简便。剖析线性模型的各种平差方法,归纳起来,从代数观点看,无非是求矛盾方程组(误差方程)的最小二乘解和相容方程组(条件方程)的最小范数解以及两者兼有的最小范数最小二乘解,还要顾及测量平差中所独有的随机模型。本文在文献[1]介绍的广义逆矩阵基础上,直接给
4、出Rao[2],Bjerhammer[3]的带权广义逆定义和算法,以此为数学工具,对经典的平差基础方法和所谓的近代平差方法作了重新推导。其中在推导附有条件的间接平差和附有参数的条件平差时,作者还采用了无限权和零权技术,使推导公式大为简化,这种新的推导方法恐怕是国内外现存文献中最简短的途径,算是本文的一个贡献。秩亏自由网平差的参数解通式是作者在1988年提出,并给出了拟稳平差的新算法,为了系统起见,在文中也一并列出。本文的另一个目的是想说将广义逆用于测量平差是非常适宜的和有效的,本文的工作可以回答这个问题。1广义逆矩阵1.1定义设有n×m矩阵A,其秩R(A)=r≤min(n,m),满足方
5、程AGA=A(1)的m×n矩阵G,称为A的广义逆矩阵,记为A-,A-不唯一。当A为n阶方阵且非奇异,即R(A)=n,则G=A-1为A的凯利逆,具有AA-1=A-1A=I1.2带权最小二乘逆如果‖V‖=(VTPV)1/2,P正定,则同时满足AGA=A(AG)TP=PAG(2)或ATPAG=ATP(3)的G,称为A的带权最小二乘逆,记为A-l(P),A-l(P)不唯一。收稿日期:2000-06-12作者简介:陶本藻(1935~),男,武汉测绘科技大学教授,博士导师。第9卷第4期测绘工程Vol.9,No.42000年12月ENGINEERINGOFSURVEYINGANDMAPPINGDEC
6、.,2000测量平差中常用的一种选择是A-l(P)=(ATPA)-ATP(4)其中R(ATPA)=R(A)1.3带权最小范数逆如果‖X‖=(XTPxX)1/2,则同时满足AGA=A(GA)TPx=PxGA(5)的G,称为A的带权最小范数逆,记为A-m(Px),不唯一。当Px正定,条件(5)与下式等价GAP-1xAT=P-1xAT(6)常用的一种选择是A-m(Px)=P-1xAT(AP-1xAT)-(7)当Px半正定,A-m(P)的一种常用选择是A-m(P)=(Px+ATA)-AT(A(Px+ATA)-AT)-(8)1.4带权伪逆(加逆)如果‖V‖=(VTPV)1/2,‖X‖=(XTPx
7、X)1/2,同时满足AGA=AGAG=G(AG)TP=PAG(GA)TPx=PxGA(9)的G,称为A的带权伪逆,记为A+PPx,唯一。常用的一种选择是A+PPx=(ATPA)-m(Px)ATP(10)2测量平差基本方法2.1间接平差函数模型:ln1=BntXt1+Δn1,R(B)=t随机模型:Dl=DΔ=σ20Q=σ20P-1,R(Q)=n,误差方程:V=BX∧-l平差准则:VTPV=min(11)按带权最小二乘逆,其解为X∧=B-l(P)l
