第3章_数系的扩充与复数的引入

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1、第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3

2、，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由

3、此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立.2.与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　3.的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*　5.复数的代数形式:通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=

4、0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如

5、果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？7答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－;虚部分别是3，，－，－;－i是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是(D)A.A∪B=CB.A=BC.A∩B=D.B∪B=C（2）.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足(D)A.x=－B.x=－2或－C.x≠－2D.x≠1且x≠－2（3）.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)

6、+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为(A)A.－1B.－1或4C.6D.6或－1答案：例4（3）由题设知3∈M，∴m2－3m－1+(m2－5m－6)i=3∴，∴∴m=－1，故选A.§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若，，则2.若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3.若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即　=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数

7、对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，7b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个

8、建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除