概率论1.4贝努利公式

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1、设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，则称为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．定义条件概率ConditionalProbabilitySamplespaceReducedsamplespacegiveneventB条件概率P(A

2、B)的样本空间乘法法则推广设Ａ1，Ａ2，...，Ａn构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi)＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有全概率公式设A1，A2，…,An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)B为样本空间的任意事件，P（B）>0,则有(k=1,2,…,n)证明贝叶斯公式Bayes’Theorem事件的独立

3、性与独立试验概型解一、事件的独立性引例一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。例A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}则设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ对于事件Ａ独立．显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ与Ｂ相互独立．事件的独立性independence定义事件的独立性判别事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以

4、认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（1）的样本空间为Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}此种情形下，事件A、B是不独立的。例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（2）的样本

5、空间为Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男）（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}此种情形下，事件A、B是独立的。直觉未必可信必须深入研究定理下列四组事件，有相同的独立性：证明若A、B独立，则所以，独立。概念辨析事件Ａ与事件Ｂ独立事件Ａ与事件Ｂ互不相容事件Ａ与事件Ｂ为对立事件例甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”则例P18-4加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2

6、%，3%，5%，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率．解设Ａ1，Ａ2，Ａ3分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：Ａ1,Ａ2,Ａ3相互独立，且Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝3%,Ｐ（Ａ3）＝5%又设Ａ表示加工出来的零件是次品,则A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3用对立事件的概率关系得＝1－(1－0.02)(1－0.03)(1－0.05)＝0.09693好！将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努

7、利试验(Bernoullitrials)，记作B（n,p）.贝努利试验Bernoullitrials相互独立的试验贝努利试验例一批产品的次品率为5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．设Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａ＝｛取到次品｝，则＝｛取到正品｝．分析n=4的Bernoulli试验Ａi={第i次抽样抽到次品}因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4相互独立，所以四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有贝努利定理设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0

8、n)其中定理二项概率例有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；(2)求至少有两粒出苗的概率．(1)该试验为4重贝努利试验解(2)设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则例设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。解该试验为5重贝努利试验，且所求概率为n=5,p=0.7;q=0.3;k=3例设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。解设A表示“元件使用1000小时