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1、第6期高中数学教与学用不动点法求递推数列通项公式李春雷(北京师范大学良乡附属中学,102488)若数列{xn}满足递推关系xn+1=f(xn),b+b的不动点为α=,显然,有求数列{xn}的通项公式.我们可以尝试先求1-a出方程x=f(x)的根,即函数f(x)的不动点;x-b=ax-b.n+1n1-a1-a再将递推公式xn+1=f(xn)转化为下列某种形例1已知数列{xn}满足xn+1=3xn+7,式:1xn+1-α=a(xn-α);首项x1=,求数列{xn}的通项公式.22xn+1-α=a(xn-α);7x-α=a(x-α)3;解由x=3x+7,得x=-.因为xn+1n+1n2xn+1-αx
2、n-α772121=q·;+=3xn+7+=3xn+=3xn+=xn+1-βxn-β222211777=r+;3xn+,所以数列xn+是以x1+xn+1-αxn-α2222xn+1-αxn-α17=;=+=4为首项,以3为公比的等比数xn+1-βxn-β22x-α37n-1n-17n+1=xn-α.列,所以xn+=4·3,xn=4·3-.22xn+1-βxn-β2定理2若数列{xn}满足xn+1=axn+bxn等,其中α,β为函数f(x)的不动点,a,q,r为2b-2b2非零常数.进而利用等差数列、等比数列的通+(a>0),且α是函数f(x)=ax+bx4a项公式或迭代法求出递推数列{xn}的
3、通项公2b-2b式.+的最小不动点,则4a定理1若数列{xn}满足xn+1=axn+2xn+1-α=a(xn-α).b(a≠0,且a≠1),且α是函数f(x)=ax+22b-2b证明由x=ax+bx+,得b的不动点,则xn+1-α=a(xn-α).4a证明令x=ax+b,可求得f(x)=ax4.已知x>0,y>0,且1+1=9,求x1.3;2.5;3.8;4.16.xy11-ab+c2bc+y的最小值.5.提示:-1==≥,aaaa5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=12ac12ab111-1≥,-1≥,1,求证:-1-1-1≥8.bbccabc三式相乘即可.练习答案:·17·©19
4、94-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net高中数学教与学2006年22b-1b-2b变形,得x+x+2=0,a24acx-ax=b-dx,bb-2即b-dx=(cx-a)x,即x+x+=0.2a2a则b-dα=(cα-a)α.所以f(x)有两个不动点-b,-b+2,取axn+b2a2a又因为xn+1=,cxn+db最小不动点α=-,则b=-2aα.又因为axn+b2a所以,xn+1-α=-αcxn+d22b-2bxn+1=axn+bxn+,所以(a-cα)x
5、n+(b-dα)4a=cxn+d2xn+1-α=axn-2aαxn+(a-cα)xn+(cα-a)α2=,(-2aα)-2(-2aα)-αcxn+d4a(a-cα)(xn-α)22=axn-2aαxn+aα,即xn+1-α=.cxn+d2即xn+1-α=a(xn-α).(a-cβ)(xn-β)例2已知数列{x}满足x=2x2+4x同理可得xn+1-β=.nn+1nncxn+d+1,首项x1=1,求数列{xn}的通项公式.xn+1-αa-cαxn-α两式相除,得=·.22解由x=2x+4x+1,得2x+3x+1xn+1-βa-cβxn-β=0,即(x+1)(2x+1)=0,则x=-1是函(2)若
6、只有一个不动点α,且a≠-d.因2数f(x)=2x+4x+1的不动点.因为xn+1+1axn+b为xn+1=,所以有=2x2+4x+2=2(x+1)2,所以由迭代法,cxn+dnnn222axn+b得xn+1=2(xn-1+1)=2[2(xn-2+1)]=xn+1-α=-α22cxn+d222222·2(xn-2+1)=2·2·[2(xn-3+1)]=232(a-cα)xn+(b-dα)2·22·22(x+1)2=⋯=2·22·22·=.①n-3cxn+dn-2n-12n-2n-1n-1221+2+2+⋯+222-12(x1+1)=2(1+1)=2ax+b2n-1n由x=,得cx+(d-a)x
7、-b=0,·22=22-1,cx+dn∴x=22-1-1.又α是唯一不动点,则n2Δ=(d-a)+4bc=0,axn+b定理3数列{xn}满足xn+1=(ca-dcxn+dα=.2cax+b≠0,ad-bc≠0),函数f(x)=,且首项(b-a)2cx+db=-,②4cx1≠f(x1).解得a-d(1)若f(x)有两个相异不动点α、β,则c=.③2axn+1-αa-cαxn-α=·;将③代入②,得
