泛函分析课程总结

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1、泛函分析课程总结数学与计算科学学院09数本5班符翠艳2009224524序号:26一.知识总结第七章度量空间和赋范线性空间1.度量空间的定义:设是一个集合,若对于中任意两个元素,都有唯一确定的实数与之相对应,而且满足则称为上的一个度量函数,()为度量空间,为两点间的度量。2.度量空间的例子①离散的度量空间设是任意的非空集合,对中任意两点,令②序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体,对S中任意两点,令③有界函数空间B(A)设A是一给定的集合,令B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体,对B(A)中任意两点,定义④可

2、测函数空间m(X)设m(X)为X上实值(或复值)的L可测函数全体,m为L测度,若,对任意两个可测函数,令⑤空间令表示闭区间上实值(或复值)连续函数的全体,对中任意两点,定义⑥空间记,设,,定义注:度量空间中距离的定义是关键。3.度量空间中的极限,稠密集,可分空间3.1收敛点列和极限定义:设是中的点列,如果存在,使,则称点列是中的收敛点列,是点列的极限。注:1.度量空间中的收敛点列的极限是唯一的。2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致(依坐标收敛,一致收敛。依测度收敛等)3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间定义:设是

3、度量空间,和是中两个自己,令表示的闭包,如果,那么称在集中稠密,当=时称是的一个稠密子集。如果由一个可数的稠密子集,则称是可分空间。注:1.若A在B中稠密,B在C中稠密,则A在C中稠密。2.欧氏空间Rn、空间C[a,b]、空间是可分的。3.不可分。4.完备度量空间4.1柯西点列定义:设是度量空间,是中的点列,如果对任意给定的正数,存在正整数,使当n,m>N时,必有则称是中的柯西点列。那么称是完备的度量空间。4.2完备度量空间的例子①是完备度量空间②C是完备度量空间③是完备度量空间4.3定理的证明定理:完备度量空间的子空

4、间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间。证明:设是完备子空间,对每个,存在中点列,使,由前述,是中的柯西点列,所以在中收敛,有极限的唯一性可知,即,,所以,因此是中的闭子空间。5.度量空间的完备化5.1等距同构映射定义:设,是两个度量空间,如果存在到上的保距映射T,即,则称和等距同构,T称为到上的等距同构映射。5.2度量空间的完备化定理定理:设是度量空间,那么一定都一定存在一个完备空间,使与的某个稠密子空间等距同构。并且在等距同构的意义下时唯一的,即也是一完备度量空间,且与的某个稠密子空间等距同构,则与等距同构。注:任

5、一度量空间都存在唯一的完备度量空间,使为的稠密子空间。6.压缩映射6.1压缩映射定义:设是度量空间,T是到中的映射,如果存在一个数,,使得对所有的,(1)则称T是压缩映射6.2压缩映射定理定理:设是完备的度量空间,T是上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(就是说,方程,有且只有一个解)。证明:设是中任意一点,令,。我们证明点列是中柯西点列,事实上,(2)由三点不等式,当n>m时,因,所以,于是得到(n>m)(3)所以当时,,即是中柯西点列,由完备,存在,使,又由三点不等式和条件(1),我们有上面不等式右端当时趋于0,

6、所以即下证唯一性。如果又有使,则由条件(1),因,所以必有,即。注:1.是完备的度量空间2.T是压缩映射3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理7.赋范线性空间和巴拿赫空间7.1赋范线性空间定义:设是实(或复)的线性空间,如果对每个向量,有一个确定的实数,记为与之对应,并满足则称为向量的范数,称按范数成为赋范线性空间。设是中点列,如果存在,使,则称依范数收敛于,记为。如果令即依范数收敛于等价于按距离收敛于,称为由范数导出的距离。注:完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7.

7、2几种常见的巴拿赫空间①欧式空间对每一个,定义范数(1)又因完备,是中范数。故按(1)式中范数成为巴拿赫空间。②空间对每一个,定义(2)按(2)式中的范数成为巴拿赫空间。③空间对每一个,定义(3)按(3)式中的范数成为巴拿赫空间。④空间对于每个,定义(4)按(4)式中的范数成为巴拿赫空间。⑤空间对每一个,定义(5)按(5)式中的范数成为巴拿赫空间。7.3两个重要的不等式和两条定理(1)霍尔德不等式设,那么在上可积,并且(2)闵可夫斯基不等式设,,那么,并且成立不等式定理1:当时,按(4)式中范数成为赋范线性空间。定理2

8、:是巴拿赫空间7.4有限维赋范线性空间的性质定理3:设是n维赋范线性空间,是的一组基,则存在常数和,使得对一切,有推论1:设在有限维线性空间上定义了两个范数和,那么必存在常数和,使得拓扑同构的定义:设和是两个赋范线性空间。如果存在从到上的线性映射和正数,,使得对一切,有则称和是两个赋范线性空间是拓扑同构推论2:任何有限维赋范空间都

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