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1、泛函分析总结学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间Rn的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1.度量定义：设X是一个集合，若对于X屮任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d与Z对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d^O,d=0?x二y2°d=d3°对？z,都有dWd+d则称d是x
2、、y之间的度量或距离，称为度量空间或距离空间。注意:⑴定义在X中任意两个元素x,y确定的实数d,只要满足1°、2。、3。都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最木质的性质。(2)度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上若有两个不同的度量函数dl和d2,则我们认为和是两个不同的度量空间。(3)集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间屮的元素为“点”，例如若x?X,则称为“X中的点”。(4)在称呼
3、度量空间时可以省略度量函数d,而称“度量空间X”O1.1举例1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点X,yex,令?1,当x?y,则称为离散度量空间。d?x,y?=??0,当x=y9■1.1序列空间s：S表示实数列的全体，d=?i?lli?i??i21??i??i；1.1有界函数空间氏A是给定的集合，B表示A上有界实值函数全体,对B中任意两点x,y,定义d=supx?yt?A1.1可测函数空间M：M为X上实值的L可测函数全体。d=?l?xf?gf?g1.1C［a,b］空间：C［a,b］表示闭区间［a,b］上实值连续函数全体，对C
4、［a,b］中任意两点x,y,定义d=maxx?ya?t?b21.11：无限维空间★例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。2.度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1xO的?一领域：设为度量空间，d是距离，定义U???x?X
5、d是一个度量空间，中点列，如果存在x?X,?xn?是?xn?收敛于x,使limn??)xn?x,即d?O?supd为点集M的直x,y?M径。若？V?,则称M为中的有界集。2.4闭集汕是闭集?A中任意收敛点列的极限都在A中,即若xn?A,n=l,2,....xn?x,则x?Ao1.5举例n2.5.1n维欧氏空间R中，点列依距
6、离收敛d?0?依分量收敛。1.5.C[a,b]空间中，点列依距离收敛d?0?依分量一致收敛。1.5.序列空间S中，点列依坐标收敛。2.5.可测函数空间M：函数列依测度收敛于f,即d?0?fn?fo2.6稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。2.6.1定义：设X是度量空间，E和M是X的两个子集,令M表示M的闭包，如果E?M,则称集M在集E中稠密，当E二X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X屮一定
7、有稠密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。2.6.2举例①n维欧式空间Rn是可分空间：坐标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集。①离散度量空间X可分?X是可数集。②1是不可分空间。数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的泄义，引进了度量空间中映射连续性的概念。1.连续映射■3.1定义：设X二Y二是两个度量空间，T是X到Y中的映射xO?X,如果对？£>0,?8>0,使对X中一切满足d则称T在xO连续。Y?R时，映射就是度量空间上的箭数。注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对TxO的s-邻域U,存在xO
8、的某个§—邻域V,使TV?U,其屮TV表示V在映射T作用下的像。〜1.定理1：设T是度量空间到度量空间中映射，T在xO?X连续？当xn?xO时，必有Txn?TxO。在映射屮我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。1.原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合｛xIxex,Tx?M?Y｝为集合M在映射T下的原像，简记为T?1MO★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。1.4定理2：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射?Y中任意开集M的原像T?1M是X中的开集二的补集，可将定理中开集改
9、成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。在数学分析屮有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R中。现在我们
