第三章 线性平稳时间序列分析

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1、第三章线性平稳时间序列分析在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA（AutoregressiveMovingAverage）序列。用ARMA模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。§3.1线性过程通常假设随机序列是由平稳序列与相互独立的

2、冲击或振动叠加生成，其中是服从某一固定分布的随机变量，实际中由于的独立性及分布情况难以确定，常用白噪声序列来定义。在正式讨论之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便，下面是延迟算子的概念。定义设为一步延迟算子，如果当前序列乘以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻，即。进一步地，对于任意的，延迟算子满足：一般地，延迟算子有如下性质：(1)；(2)若c为任意常数，则；(3)对于任意的两个序列和，有；(4)。接下来我们讨论求解线性差

3、分方程。定义定义如下形式方程为序列的线性差分方程：，其中，为实数，为的已知函数。特别地，当函数时，差分方程：35称为齐次线性差分方程。否则，线性差分方程称为非齐次线性差分方程。在时间序列模型中，求解差分方程起着重要的作用，关于白噪声序列的有限参数模型都是用线性差分模型表示的。下面我们讨论线性差分方程解的问题，首先讨论齐次线性差分方程解的情况。为此，需要先定义齐次线性差分方程的特征方程和特征根。下列方程：称为齐次线性差分方程的特征方程。这是一个一元p次线性方程，它至少存在个非零根，称这个非零根为特征根，记为。根据特征根的

4、情况，齐次线性差分方程解的解有如下情形：1.特征根为互不相同的实根这时齐次线性差分方程的解为其中，为任意实数。2.特征根中有相同实根此时不妨设为d个相同实根，为互不相同的实根，齐次线性差分方程的解为：其中，为任意实数。3.特征根中有复根此时由于为任意实数，所以若方程有复根，则必有共轭复根，不妨假定为一对共轭复根，其中，为互不相同的实根，这时齐次线性差分方程的解为：其中，为任意实数。对于非齐次线性差分方程解的问题，通常分下下列两个步骤进行：首先求出对应齐次线性差分方程的通解，然后再求出该非齐次线性差分方程的一个特解，即满

5、足：则非齐次线性差分方程的解为对应齐次线性差分方程的解和该非齐次线性差分方程的一个特解之和，即35由此可见，非齐次线性差分方程的特解依赖于函数的形式，齐次线性差分方程的通解依赖于对应特征方程的根，并且带有任意常数。时间序列模型的最终特性通常是被齐次差分方程所支配。3.1.1线性过程的定义定义3.1称为线性过程，若(3.1)其中，是白噪声序列，系数序列满足(3.2)若其中系数序列满足，则系统表为(3.3)称系统为因果性的。下面不加证明地给出线性过程的相关结果。定理3.1定义（3.1）中的线性过程是平稳序列，且无穷滑动和是

6、均方收敛的。证明：由于为白噪声序列，因此为正交序列，又：故有从而无穷滑动和均方收敛，且35故为平稳序列。3.1.2线性过程的因果性和可逆性上节提到，在应用时间序列分析去解决实际问题时，所使用的线性过程是因果性的，即：,(3.4)(3.5)设为一步延迟算子，则，，(3.4)可表为：(3.6)其中，，今后将把看作对进行运算的算子，又可作为的函数来讨论。函数中系数序列可以是有限项，也可以是无限项。在无限项时要求(3.4)满足一定的收敛性。要使平稳，则要求满足(3.5)。函数在时收敛可作为收敛的充分条件。通常更便于使用的条件是

7、：(3.7)在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用时刻及时刻以前的来表示白噪声，即(3.8)其中(3.9)称将变换为的线性算子：35为逆函数，称(3.8)为的逆转形式，也称为无穷阶自回归。与因果性完全类似，为使(3.8)中级数有意义，易证，若，则(3.8)级数为均方收敛。定理3.2若(3.4)、(3.5)中的系数序列满足(3.7)，且则可表为(3.9)，且有由上述定理可见：的零点都在单位圆外与的零点都在单位圆外是等价的。§3.2自回归模型AR(p)上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都是无穷和的形式，当用有限和去逼近

8、时即产生有限参数线性模型，而且许多平稳序列本身就是由有限参数线性模型刻画的。有限参数线性模型是时间序列分析中理论最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论AR、MA和ARMA三种有限参数线性模型。3.2.1一阶自回归模型AR(1)通常地，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种情形就是变量当前的取值主要与