§7.3 离散时间系统的数学模型

《§7.3 离散时间系统的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§7.3离散时间系统的数学模型——差分方程一、线性、时不变离散系统二、差分方程三、离散时间系统的模拟返回一、线性、时不变离散系统(一）线性系统(二）时不变系统(三）因果系统(四）稳定系统返回系统功能的本质:是将输入序列转变成输出序列的运算（映射）。即：y(n)=T[x(n)]T[.]x(n)y(n)运算关系(一)线性系统具有均匀（齐次）性、叠加性的系统称为线性系统。离散时间系统)(1nx)(1ny离散时间系统)(2nx)(2ny离散时间系统)()(2211nxcnxc+)()(2211nycnyc+返回若：（c1、c2

2、为任意常数）则有：(二）时不变系统整个序列右移N位返回如果：T[x(n)]=y(n)，若有T[x(n-N)]=y(n-N)；则称为时不变系统。T[.]x(n)y(n)T[.]x(n-N)y(n-N)(三）因果系统返回系统的输出y(n)只取决于此时刻、以及此时刻以前的输入，即：x(n)、x(n-1)、x(n-2)……。则称为因果系统。{若y(n)取决于x(n+1)、x(n+2)……，即：系统的输出取决于未来的输入，这在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统。}因果系统的充要条件：h(n)0，n<0h(n)为单位脉冲响应

3、。(四）稳定系统返回有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。稳定系统的充要条件：即：单位脉冲响应绝对可和。注意：，只是系统稳定的必要条件，而非充分条件。二、差分方程返回在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。（一）数学模型的基本单元（二）差分（三）差分方程（四）差分方程的建立（五）差分方程的特点在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、乘系数、相加的关系，即：差分方程。这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同，因此描述系统的数学手段也不同。（一）数学模型

4、的基本单元返回延时器标量乘法器或T、D若x2(n)=a，则为标量乘法器加法器：乘法器：（二）差分前向差分Dx(n)定义为：Dx(n)=x(n+h)-x(n)后向差分x(n)定义为：x(n)=x(n)-x(n-h)中心差分dx(n)定义为：dx(n)=x(n+h/2)-x(n-h/2)式中h（h>0）为步长，一般取步长h=1。1.序列x(n)的前向差分Dx(n)=x(n+1)-x(n)（一阶差分）D2x(n)=Dx(n+1)-Dx(n)=x(n+2)-x(n+1)-[x(n+1)-x(n)]=x(n+2)-2x(n+1)

5、+x(n)（二阶差分）对于一个离散信号x(n)，差分运算有三种形式：2.序列x(n)的后向差分D3x(n)=x(n+3)-3x(n+2)+3x(n+1)-x(n)（三阶差分）（k阶差分）x(n)=x(n)-x(n-1)（一阶差分）2x(n)=x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)（二阶差分）（k阶差分）3x(n)=2x(n)-2x(n-1)=x(n)-3x(n-1)+3x(n-2)-x(n-3)（三阶差分）3.典型序列的差分（后向）返回u(n)=u(n)-u(n-1)=d(n)n=n-(n-1)

6、=1n2=n2-(n-1)2=2n-1n2u(n)=n2u(n)-(n-1)2u(n-1)=(2n-1)u(n-1)4.差分的逆运算———求和典型序列的求和（三）差分方程a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+…...aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+…...bM(n)x(n-M)1.一般差分方程表达式F(n,y(n),y(n),……ky(n))=0或Q(n,y(n),y(n-1),……,y(n-k))=0称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。最前项变量减最后项变量n-

7、(n-k)=k称为差分方程的阶数。2.线性差分方程其中ai(n)、bj(n)、x(k)，i=0,1,……N;j=0,1,……M;k=n-M,……n。返回1）若，方程是N阶差分方程。2）若ai(n),bj(n)是常数（与n无关），则方程或被描述的系统是时不变的。3）若bj(n)=0，j=0,1,……M，则方程是齐次差分方程。a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+…...aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+…...bM(n)x(n-M)与微分方程的分类相对应，差分方程也可划分为线性的与

8、非线性的、常系数的与参变系数的等。一般情况下，线性、时不变离散时间系统需要由常系数线性差分方程描述。这也本课程所要讨论的。（四）差分方程的建立差分方程是处理离散变量函数关系的一种数学工具，其应用遍及许多科学领域，方程的建立与变量的选取因具体问题而异，方法多种多样。下面给出几种常用方法。返回1．由系统框图列写差分方程2．由微分方程导