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1、学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……微积分（下）期末复习题一、选择题1.设是方程的一个解，若，且，则在点().(A)取得极大值；(B取得极小值；(C)某个邻域内单调增加；(D)某个邻域内单调减少。2.设为连续函数，则=()。(A)；(B)；(C)；(D)3.已知，，则()。(A)8；(B)7；(C)5；(D)9.4.设是面上以为顶点的三角形区域，是中在第一象限的部分，则积分＝（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5.若在点(0,0)处的两个偏导数存在，则在点(0,
2、0)处（）.（A）连续且可微；（B）连续但不一定可微；（C）可微但不一定连续；（D）不一定可微也不一定连续.6.非齐次线性微分方程的特解形式为（）.（A）（B）（C）（D.7.函数在点处的梯度…………………………………………（）.；；；.8．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式应為…………………………（）.;；；第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……9.设为曲面的部分，则曲面积分……………（）.；；；.10.若级数在处收敛，则该级数在处……………………
3、………………（）.发散；绝对收敛；条件收敛；敛散性不能判定.答案B,C,A,A,D,B,C,D,C,B,二、填空题/1.设函数，则___________.2.两次积分.3.四阶微分方程的通解为.4.设曲线为，则曲线积分___________.5.设，，則其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于6.曲面上平行于平面的切平面方程7.球体内任一点处的密度，该球体的质量.8.幂级数的收敛区间（含端点）与和函数是与答案1．；2.；3.；4.；5.；6.;7.；8.；第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内…
4、……答………题………无………效…….三、设函数由方程确定，其中具有连续的偏导数，求[解]令，則四、设，具有二阶连续偏导数，求[解]五、表示不超过的最大整数。六、计算曲线积分，其中为由点沿上半圆周到点的一段弧..解：补，由格林公式第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……故七、连续,且曲线积分与路径无关，计算曲线积分的值.[解]由条件有,,代入条件得,从而原积分变为②八、计算曲面积分，其中为曲面上被平面截下部分的下侧[解]补平面取上侧由高斯公式故九、求微分方程
5、满足初始条件的特解。[解]对应齐次方程特征根为通解为非齐次方程的特解形式应为代入非齐次方程比较系数得非齐次方程的特解为，故非齐次方程的通解为由初始条件得故满足初始条件的特解为第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……十、设是单调递减的正值数列，求证：级数收敛.[证]为正项级数考察正项级数其部分和因其部分和有上界，所以正项级数收敛；故由比较判敛法知正项级数收敛十一、设为单调增加有界的正项数列,证明：级数收敛.[证]单调增加有上界十二、巳知三角形的三边长分别为，
6、面积为，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值.[解]设三角形内一点到三边距离分别为，则问题归结为求目标函数在约束条件下的最大值；令第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……則由解出因为驻点惟一，所以最大值为十三、若点是光滑曲面上与原点距离最近的点，试证过点的法线必通过坐标原点.[解]因点是光滑曲面上与原点距离最近的点，故令由拉格朗日乘数法得曲面上过点的法线.方程为显然原点满足此法线.方程.十四、将函数展开成余弦级数.[解]将函数作偶延拓，周期为.，，第
7、9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(研)单元检测题:第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)第9页共9页学院姓名学号任课老师选课号/座位
8、号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.第9页共9页
